Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок
дифференциального уравнения 
,
которое не содержит искомой функции и
ее производных до k-1 порядка,
может быть понижен до n-k заменой 
.
В
этом случае 
,
и исходное дифференциальное уравнение
сведется к 
.
После нахождения его решения p(x) останется
вернуться к замене
и
определить неизвестную функцию y.
Например,
дифференциальное уравнение 
после
замены 
станет
уравнением с разделяющимися переменными 
,
и его порядок с третьего понизится до
первого.
Если
дифференциальное уравнение не содержит
аргумента x,
то есть, имеет вид 
,
то его порядок может быть снижен на
единицу заменой 
,
где p(y(x)) будет
сложной функцией. Тогда по правилу
дифференцирования сложной функции
получим
и
так далее.
Подставив эти результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение не единицу меньшего порядка.
К
примеру, дифференциальное
уравнение 
заменой
приводится
к уравнению с разделяющимися переменными 
.
Подробное решение подобных примеров представлено в статьедифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка.
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
и 
.
Чтобы
определить общее решение таких видов
дифференциальных уравнений, во-первых,
требуется найти корни характеристического
уравнения 
.
В этом Вам может помочь статья решение
уравнений высших степеней.
Далее, отталкиваясь от значений корней
характеристического уравнения, общее
решение ЛОДУ
записывается
в стандартной форме, а общее решение
неоднородного уравнения представляется
суммой
,
где
-
частное решение неоднородного
дифференциального уравнения.
можно
определить методом вариации произвольных
постоянных.
В
качестве примера ЛНДУ с постоянными
коэффициентами приведем 
,
ему соответствует ЛОДУ 
.
Подробное описание теории и детальный разбор решения примеров смотрите в разделе линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков
и 
.
Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
представляет
собой линейную комбинацию линейно
независимых функций 
,
каждая из которых является частным
решением ЛОДУ, то есть, обращает
равенство 
в
тождество. Частные решения
обычно
подбираются из известных систем линейно
независимых функций. Подобрать их далеко
не всегда просто и возможно, в этом и
заключается основная проблема.
Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных.
Итак, 
.
Краткое описание теории приведено в статье линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
К началу страницы
Системы дифференциальных уравнений вида .
В разделе системы дифференциальных уравнений изложена суть их решения и разобраны примеры.