37 Вопрос
Тригонометрический ряд. Выражение коэффициентов тригонометрического ряда через его сумму. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x). Теорема Дирихле о достаточных условиях разложимости функции в ряд Фурье.
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
или,
короче, 
Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2.
Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-; ], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).
Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2, непрерывная на отрезке [-; ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье сформулированы в теореме Дирихле.
Т е о р е м а. Если в интервале [–l, l] функция f (x) имеет конечное число точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число точек экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье сходится, т.е. имеет сумму S (x) во всех точках указанного интервала.
При этом:
а) в точках непрерывности функции f (x) ряд сходится к самой функции: S (x) = f (x);
b) в каждой точке разрыва xk функции f(x) ряд сходится к полусумме односторонних пределов функции слева и справа:
;
c) в обеих граничных точках интервала [–l, l] ряд сходится к полусумме односторонних пределов функции при стремлении х к этим точкам изнутри интервала:
.
Часто
периодическая функция f (z)
задается на интервале [–
,
].
В этом случае ряд Фурье для f (z)
записывается в несколько ином виде:
,
(57)
где
(m =
0, 1, 2, …); (58)
(m =
1, 2, 3 …). (59)
К этому ряду также применима теорема Дирихле и полученные ниже выводы.
38 Вопрос Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Комплексная форма ряда Фурье.
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
1) 
2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.
3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.
Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:
Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:
Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:
Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера
можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:
Мы использовали здесь следующие обозначения:
Коэффициенты cn называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами
