
- •1 Вопрос.
- •2 Вопрос.
- •Двойной интеграл в полярных координатах
- •Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •3 Вопрос.
- •4 Вопрос.
- •5 Вопрос.
- •Свойства
- •6 Вопрос.
- •7 Вопрос.
- •8 Вопрос.
- •9 Вопрос.
- •10 Вопрос
- •11 Вопрос
- •12 Вопрос
- •- (По моему легче учить из тетради по практике. Тут пизда)
- •Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Системы дифференциальных уравнений вида .
- •13 Вопрос
- •14 Вопрос
- •Метод решения Первый способ
- •Второй способ
- •15 Вопрос
- •16 Вопрос
- •Метод Рунге-Кутта
- •17 Вопрос
- •18 Вопрос
- •26 Вопрос
- •27 Вопрос
- •28 Вопрос
- •2. Необходимый признак сходимости.
- •29 Вопрос
- •30 Вопрос
- •31 Вопрос
- •32 Вопрос
- •33 Вопрос
- •34 Вопрос
- •35 Вопрос
- •36 Вопрос
- •37 Вопрос
- •38 Вопрос Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Комплексная форма ряда Фурье.
2. Необходимый признак сходимости.
Теорема.
Если
числовой ряд
сходится,
то его общий член при неограниченном
возрастании n стремится
к нулю, т.е.
Доказательство.
Пусть данный ряд сходится. Тогда по определению сходящегося ряда
;
так
как вместе с
также
и
,
то
,
т.е.
Здесь
,
а
.
Поэтому
Отсюда
,
что и требовалось доказать.
Теорема 4 (необходимый
признак сходимости). Если
ряд
сходится,
то
.
Доказательство. Так
как ряд сходится, то частичная сумма Sn (а
с ней и Sn–1)
имеет конечный предел
.
Но
,
отсюда
.
Замечание.
Следует заметить, что это только
необходимый признак сходимости, но
недостаточный, т. е. обратное утверждение
неверно, и, если
,
о сходимости ряда ещё ничего нельзя
сказать. Но если
,
то ряд расходится, что является достаточным
условием расходимости.
29 Вопрос
Теорема сравнения рядов с положительными членами
Пусть даны два числовых ряда с положительными членами:
(1) и
(2),
Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема.
Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е.
(3)
И ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1), а если ряд (1) расходится, то и ряд (2) тоже расходится.
Доказательство.
1)
обозначим через
и
частичные
суммы рядов (1) и (2) соответственно. Из
условия (3) следует, что
(4)
Так
как ряд (2) сходится, то существует
,
а из того, что члены рядов (1) и (2)
положительны, следует, что
и
тогда в силу неравенства (4)
.
Мы
доказали, что частичные суммы
ограничены,
а так как последовательность частичных
сумм является ещё и возрастающей, то
она имеет предел
,
причем, очевидно, что
2)Докажем теперь, что из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Предположим, что ряд (2) сходится, но тогда по только что доказанной теореме сходился бы и ряд (1), что противоречит условию теоремы.
Исследуем ряды на сходимость с помощью признака сравнения.
Вторая (предельная) теорема сравнения
Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами
.
План решения.
1.
Проверяем, что
,
т.к. если
,
то ряд расходится, т.к. не выполнено
необходимое условие сходимости ряда.
2.
Проверяем, что
для
всех
.
3. Делаем вывод о сходимости или расходимости ряда, используя вторую (предельную) теорему сравнения:
Пусть
даны два ряда
и
,
причем существует номер
такой,
что при всех
и
.
Если существует конечный и отличный от
нуля предел
,
то ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся одновременно.
В
качестве эталонного ряда
обычно
используют либо обобщенный гармонический
ряд
,
который сходится при
и
расходится при
,
либо геометрический ряд
,
который сходится при
и
расходится при
.
Таким образом, необходимо найти
последовательность
(или
)
такую, что
(или
)
при
.
Вывод: по второй (предельной) теореме сравнения исходный ряд сходится, если ( ) и расходится, если ( ).
30 Вопрос
Признак Даламбера.
Теорема
7: Пусть дан ряд
с
положительными членами и существует
предел
.
Тогда а) при
ряд
сходится; b) при
ряд
расходится.
Доказательство.
a)
Пусть
и
.
Докажем, что ряд
сходится.
По определению предела числовой
последовательности для любого
существует
номер N такой, что при
выполняется
неравенство
.
Отсюда следует, что
.
(8)
Т.к.
,
то
можно
взять настолько малым, что будет выполнено
неравенство
.
Полагая
,
на основании правого из неравенств (8)
имеем
,
или
для
n=N, N+1,
N+2, … Придавая
n эти значения, из последнего неравенства
получаем
т.е.
члены ряда
(9)
меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии:
(10)
Т.к.
,
то ряд (10) сходится. Тогда согласно
признаку сравнения ряд (9) также сходится.
Но ряд (9) получен из данного ряда
в
результате отбрасывания конечного
числа первых членов, следовательно, по
теореме 1 ряд
сходится.
b)
Пусть теперь
.
Докажем, что ряд
расходится.
Возьмем
настолько
малым, чтобы
.
Тогда при
в
силу левого из неравенств (8) выполняется
неравенство
или
.
Таким образом, члены ряда, начиная с
некоторого номера N,
возрастают с увеличением их номеров,
т.е. общий член ряда
не
стремится к нулю при
.
Следовательно, согласно теореме 4, ряд
расходится.
Замечание.
При
ряд
может,
как сходится, так и расходится. В этом
случае необходимо дополнительное
исследование ряда с помощью признака
сравнения или других признаков.
Теорема Коши
Если для числового ряда
с
неотрицательными членами существует
такое число
,
,
что, начиная с некоторого номера,
выполняется неравенство
,
то данный ряд сходится
Условие радикального признака равносильно следующему:
То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:
-
Если для ряда
, то
если
ряд сходится,
если
ряд расходится,
если
вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Теорема Маклорена-Коши
Интегральный
признак Коши́-Макло́рена — признак
сходимости
убывающего положительного числового
ряда. Признак Коши-Маклорена
даёт возможность свести проверку
сходимости ряда к проверке сходимости
несобственного
интеграла соответствующей
функции на
,
последний часто может быть найден в
явном виде.
Пусть для функции f(x) выполняется:
(функция принимает неотрицательные значения)
(функция монотонно убывает)
(соответствие функции ряду)
Тогда
ряд
и
несобственный интеграл
сходятся
или расходятся одновременно.
Обобщенный гармонический ряд
Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд[3]
.
Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1[3].
Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:
Для
чётных это значение явно выражается
через число
пи, например,
,
а уже для α=3 его значение аналитически
неизвестно.