28 Вопрос

§1. Определение ряда и его сходимость

Определение 1. Пусть задана бесконечная числовая последовательность u₁, u₂,…,u_n,…. Выражение

  (1)

называется числовым рядом. Числа u₁, u₂,…,u_n,… называются первым, вторым, …, n-м, … членами ряда. u_n также называется общим членом ряда.

Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда:

Определение 3. Если существует конечный предел   то он называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если   не существует или равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимся и суммы не имеет.

§2. Простейшие свойства числовых рядов

Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и ряд (1). Обратно, если сходится данный ряд (1), то сходится ряд, полученный из ряда (1) отбрасыванием нескольких членов.

Другими словами: на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Доказательство. Пусть S_n – n-я частичная сумма ряда (1), C_k – сумма к отброшенных членов (заметим, что при достаточно большом n все отброшенные члены содержатся в сумме S_n), _n-k – сумма членов ряда, входящих в суммуS_n и не входящих в C_k. Таким образом:

,

где C_k – постоянное число, не зависящее от n.

Из последнего равенства следует, что если существует   то существует и   и обратно, если существует  , то существует и   Это и доказывает справедливость теоремы.

Теорема 2. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд

,           (2)

где с – число, также сходится и его сумма равна c^.S.

Доказательство. Пусть S_n и _n – n-е частичные суммы соответственно рядов (1) и (2). Тогда

.

Предел _n существует, так как

= =c^. =c^.S, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Если ряды

и

   (3)

сходятся и их суммы равны соответственно   и S, то ряды

                (4)

и

(u₁-v₁)+ (u₂-v₂)+…+ (u_n-v_n)+…                (5)

также сходятся и их суммы равны соответственно  +S и   -S.

Доказательство. Докажем сходимость ряда (4). Обозначим _n,  и S_n – n-е частичные суммы рядов (4), (1) и (2) соответственно. Получим

_n=(u₁+v₁)+(u₂+v₂)+…+(u_n+v_n)=(u₁+u₂+…+u_n)+  +(v₁+v₂+…+v_n)=  + S_n.

Переходя в этом равенстве к пределу при n, получим

= ( + S_n)=  +  S_n= + S.

Таким образом, ряд (4) сходится и его сумма равна  + S.