17 Вопрос

Линейный дифференциальные уравнение высших порядков (однородные, неоднородные). Теорема о линейной комбинации решений линейного однородного дифференциального уравнение. Теорема о наложении решений линейного неоднородного дифференциального уравнения

Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида:

y⁽ⁿ⁾ + a₁ y^(n-1) + a₂ y^(n-2)+ ^... + a_n y = f (x), (1)

где f (x) и коэффициенты a₁, a₂,...,a_n непрерывны на отрезке [a,b]. Если все a_i –  постоянные числа, то уравнение называется линейным ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами.

Если  , то уравнение называется неоднородным; если f (x) = 0, уравнение называют однородным.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:  y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x). 

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении решений. Мы установили, что для того, чтобы решить линейное однородное уравнение, необходимо найти его фундаментальную систему решений. В этом разделе покажем, что решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного, если удаётся найти частное решение этого неоднородного уравнения. Справедлива

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

  (20)

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения 

 (21)

и частного решения неоднородного уравнения (20):

 yон(x) = yоо(x) + yчн(x) = (C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x)) + yчн(x).

18 Вопрос

Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Теорема об условиях, при которых экспонента е является решением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянным коэфицентами. Характеристическое уравнение.

Рассмотрим на [a; b] линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C₁,..., C_n ), зависящая от n произвольных постоянных C₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C₁,..., C_n функция y= Φ(x, C₁,..., C_n ) является решением уравнения на [a; b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x₀, y₀, y_1,0 ,..., y_{n − 1,0} ) , x₀∈ [a;b] , существуют такие значения C₁ =C₁₀ , ..., C_n = C_n0 , что функцияy = Φ(x, C₁₀ , ..., C_n0) удовлетворяет начальным условиям y(x₀) = y₀, y'(x₀) = y_1,0 ,..., y^{(n − 1)} (x₀) = y_{n− 1,0} .

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

y(x,C₁,..., C_n) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + ... + C_n y_n(x),

где C₁,...,C_n — произвольные постоянные.

Если имеется однородное линейное дифференциальное уравнение c постоянными коэффициентами

р₀у⁽ⁿ⁾ + p₁y^(n-1) + … + p_ny = 0,

то  алгебраическое уравнение

p₀λⁿ + p₁λ^n-1 + … + p_n = 0

называется его характеристическим уравнением.

19 Вопрос

20 Вопрос

21 Вопрос

22 Вопрос

23 Вопрос

24 Вопрос

25 Вопрос

1.6. Дифференцирование изображения. Если  , то  . Используя данную формулу, найдем изображение степенной функции  . Известно, что  . Применяя формулу дифференцирования изображения при  , получим   или  . Аналогично   или  . Далее,  .

Откуда  или  . При любом   получаем  .

Применяя теорему смещения к этому изображению, получим  .

 На основании теоремы дифференцирования изображения можно получить изображения функций   и  ,

,

.