14 Вопрос
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
,
(1)
линейное
относительно неизвестной функции
и
ее производной. Если в уравнении (1)
правая часть
,
то уравнение
(2)
называется линейным однородным уравнением, которое является уравнением с разделяющимися переменными.
Решим уравнение (2):
,
,
,
,
где
принимает
любые
положительные и отрицательные значения, соответствующего данному неоднородному (то есть имеющее =такую же левую часть, что и уравнение (1)), то общее решение неоднородного уравнения может быть получено методом вариации произвольной постоянной.
Полагая
в решении однородного уравнения константу
некоторой неизвестной функцией переменной
,
запишем
(3)
Подставим выражение (3) в неоднородное уравнение (1):
,
(4)
Получено
уравнение с разделяющимися переменными
относительно неизвестной функции
,
решив которое можно дописать общее
решение неоднородного уравнения (1) в
виде (3).
Из уравнения (4) имеем
.
Возвращаясь к выражению (3), найдем
,
(5)
где первое слагаемое является частным решением неоднородного уравнения (1), а второе слагаемое – общим решением однородного уравнения (2).
Таким образом, общее решение неоднородного линейного уравнения может быть представлено в виде суммы
,
(6)
где
-
общее решение соответствующего
однородного уравнения, а
-
некоторое частное решение неоднородного
уравнения.
Метод вариации произвольной постоянной не единственный при решении линейных уравнений.
Удобным
способом решения линейных уравнений
является метод Бернулли. Пусть дано
уравнение (1). Решение этого уравнения
будем искать в виде произведения двух
функций:
,
где
,
.
Подставим решение в исходное уравнение
(3.6):
,
,
.
Найдем
такую функцию
,
которая бы являлась решением
дифференциального уравнения
.
Тогда решение уравнения (1) будет сведено к решению системы уравнений с разделяющимися переменными
(7)
Заметим, что при решении первого уравнения системы достаточно указать любое частное решение, то есть выбор константы произволен.
Пример. Решить дифференциальное уравнение.
.
Решение. Данное уравнение является линейным. Решим его двумя способами.
1 способ. Решим уравнение методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее однородное уравнение имеет вид:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными:
,
,
,
,
,
.
Найдено
общее решение однородного уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения
ищем в том же виде, полагая
:
;
.
Подстановка в первоначальное уравнение приводит к равенству
.
Решим полученное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции :
,
,
,
,
,
.
Подставив в выражение найденную функцию получим общее решение линейного уравнения:
или
,
где
-
произвольная постоянная. Решение
представляет собой сумму вида (3.11), где
,
.
2 способ. Решим это же уравнение методом Бернулли, полагая, что , где , . Исходное уравнение примет вид:
,
.
Система (7) может быть записана как
Решение первого уравнения системы:
,
,
,
;
.
Частное
решение уравнения (при
):
.
Подставив функцию
во
второе уравнение системы, получим:
,
,
,
.
Общее решение линейного уравнения:
,
.
Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
называется
уравнением Бернулли (при
или
получаем
неоднородное или однородное линейное
уравнение). При
является
частным случаем уравнения
Риккати. Названо в честь Якоба
Бернулли, опубликовавшего это
уравнение в 1695 году. Метод решения с
помощью замены, сводящей это уравнение
к линейному, нашёл его брат Иоганн
Бернулли в 1697 году.[1]