3. Математическое обеспечение анализа на микроуровне

Краевые условия включают начальные условия, характеризующие пространственное распределение зависимых переменных в начальный момент времени, и граничные, задающие значения этих переменных на границах рассматриваемой области в функции времени.

Методы анализа на микроуровне. В САПР решение дифференциальных или интегро-диффе-ренциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных — их представлении конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследуемого пространства. Эти точки рассматриваются как узлы некоторой сетки, поэтому используемые в САПР методы — это сеточные методы.

Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Обычно выполняют дискретизацию пространственных независимых переменных, т.е. используют пространственную сетку. В этом случае результатом дискретизации является система обыкновенных дифференциальных уравнений для задачи нестационарной или система алгебраических уравнений для стационарной.

Матрица жесткости также оказывается сильно разреженной, поэтому для решения (3.41) применяют методы разреженных матриц.

Примечание. Одним из широко известных методов разреженных матриц является метод прогонки, применяемый в случае трехдиагональных матриц коэффициентов в системе алгебраических уравнений.

Структура программ анализа по МКЭ на микроуровне. Основными частями программы анализа по МКЭ являются библиотеки конечных элементов, препроцессор, решатель и постпроцессор.

Библиотеки конечных элементов (КЭ) содержат модели КЭ — их матрицы жесткости. Очевидно, что модели КЭ будут различными для разных задач (анализ упругих или пластических деформаций, моделирование полей температур, электрических потенциалов и т.п.), разных форм КЭ (например, в двумерном случае — треугольные или четырехугольные элементы), разных наборов координатных функций.

Исходные данные для препроцессора — геометрическая модель объекта, чаще всего получаемая из подсистемы конструирования. Основная функция препроцессора — представление исследуемой среды (детали) в сеточном виде, т.е. в виде множества конечных элементов.

Решатель — программа, которая ассемблирует (собирает) модели отдельных КЭ в общую систему алгебраических уравнений (3.41) и решает эту систему одним из методов разреженных матриц.

Постпроцессор служит для визуализации результатов решения в удобной для пользователя форме. В машиностроительных САПР это графическая форма. Пользователь может видеть исходную (до нагружения) и деформированную формы детали, поля напряжений, температур, потенциалов и т.п. в виде цветных изображений, в которых палитра цветов или интенсивность свечения характеризуют значения фазовой переменной.

Мировыми лидерами среди программ конечно-элементного анализа являются программно-методические комплексы Nastran, Ansys, Nisa, Adina, Cosmos.

Как правило, эти комплексы включают в себя ряд программ, родственных по математическому обеспечению, интерфейсам, общности некоторых используемых модулей. Эти программы различаются ориентацией на разные приложения, степенью специализации, ценой или выполняемой обслуживающей функцией. Например, в комплексе Ansys основные решающие модули позволяют выполнять анализ механической прочности, теплопроводности, динамики жидкостей и газов, акустических и электромагнитных полей. Во все варианты программ входят пре- и постпроцессоры, а также интерфейс с базой данных. Предусмотрен экспорт (импорт) данных между Ansys и ведущими комплексами геометрического моделирования и машинной графики.