13.2.3. Метод Франка-Вульфа

Пусть решается следующая задача:

(13.19)

при условиях

, ,

, . (13.20)

Отметим, что система ограничений этой задачи содержит только линейные неравенства. Это является основой для замены в окрестности исследуемой точки нелинейной целевой функции линейной, благодаря чему решения исходной задачи сводится к последовательному решению задач линейного программирования.

Алгоритм метода Франка-Вульфа

Начальный этап. Выбрать , , .

Основной этап.

Шаг 1. Определить .

Шаг 2. Решается задача:

(13.21)

- решение этой задачи.

Шаг 3. Если , то - задача решена.

Шаг 4. Выбираем направление .

Шаг 5. Находим (величина шага в направлении ), решая задачу одномерной оптимизации: .

Шаг 6. Положить . Определить .

Шаг 7. Если , то задача решена, в противном случае положить и перейти к шагу 1.

Очевидно, что эту процедуру можно интерпретировать как метод возможных направлений. В самом деле, алгоритм Франка-Вульфа предусматривает, что исследуемые точки не выходят за пределы области допустимых решений задачи, а направление является возможным на каждой итерации метода.

Пример 13.5. Найти максимум функции

(13.22)

при условиях

. (13.23)

Начальный этап. Выбираем начальную точку , , , .

Основной этап.

Итерация 1

Шаг 1. Определяем .

Шаг 2. Решаем задачу:

,

; фактически решаем задачу

.

Оптимальный план этой задачи .

Шаг 3. Так как , переходим к шагу 4.

Шаг 4. Выбираем .

Шаг 5. Находим шаг в направлении новой точки . Решение этой задачи (одномерной): .

Шаг 6. Находим новую точку:

. .

Шаг 7. Так как , то и перейти к шагу 1.

Итерация 2

Шаг 1. .

Шаг 2. Решаем вспомогательную задачу: . Решением является .

Шаг 3. Так как , переходим к шагу 4.

Шаг 4. Выбираем .

Шаг 5. Решаем задачу: .

Шаг 6. Положить . .

Шаг 7. Так как , то и перейти к шагу 1.

Итерация 3

Шаг 1. .

Шаг 2. Решаем вспомогательную задачу: . Решением является .

Шаг 3. Так как , переходим к шагу 4.

Шаг 4. Выбираем .

Шаг 5. Решаем задачу: . .

Решение задачи .

Шаг 6. Положить . .

Шаг 7.Так как , то и задача решена.

Замечание. Задав меньшее значение , можно было, выполнив дополнительные итерации, ещё ближе подойти к точке максимального значения целевой функции (очевидно, что это точка ).

Ход решения задачи проиллюстрирован на рисунке 13.9.

Рис. 13.9. Метод Франка-Вульфа

Рассмотренные методы возможных направлений имеют две особен­ности – гарантированная сходимость для невыпуклых задач и допусти­мость получаемых точек. В качестве основных недостатков следует от­метить медленную сходимость и неспособность удовлетворительно ре­шать задачи с нелинейными ограничениями в виде равенств, так как у таких ограничений отсутствует допустимая внутренняя область.

В задаче выбора направлений берутся направления градиентного подъема. Кроме того, требование возможности выбираемого направления может приводить к отклонению от направления скорейшего подъема, что может в принципе уменьшить скорость приближения к решению. Таким образом, скорость сходимости в методах возможных направлений не вы­ше, чем в градиентных методах безусловной оптимизации.

Следует отметить также, что недостатком методов возможных направлений является необходимость решения подзадач линейного программирования.

Практикум

«Линейные модели и методы в экономике»

Составить математическую модель задачи.

1. Компания «АВС» имеет возможность рекламировать свою продукцию по местному телевидению, общенациональному телевидению и по радио. Бюджет на рекламу ограничен 10 000 долларов в месяц. Одна минута рекламного времени на радио стоит 15 дол., на местном телевидении – 300 долларов, на общенациональном телевидении – 1000 долларов. Компания предполагает, что реклама на радио по времени должна превышать рекламу на местном телевидении не менее, чем в два раза. Вместе с тем известно, что нерационально использовать более 400 минут рекламы на радио в месяц. Исследования показывают, что реклама на национальном телевидении в 35 раз эффективнее рекламы на радио, а реклама на местном телевидении – в 25 раз эффективнее рекламы на радио. Разработайте оптимальный рекламный бюджет.

X₁ – объем средств, выделенных на радио-рекламу (дол.)

X₂ – объем средств, выделенных на рекламу по местному телевидению (дол.)

X₃ – объем средств, выделенных на рекламу по национальному телевидению (дол.)

Х₁+25Х₂+35Х₃→max

X₁+X₂+X3→min

X₁+X₂+X₃≤10 000

10X₁-X₂≥0

X₁≤6000

X₁,X₂,X₃≥0

2. Банк «Moneybank», предоставляющий полный набор банковских услуг, находится в процессе формирования портфеля кредитов объемом 12 миллионов долларов. В следующей таблице представлены возможные типы банковских кредитов:

Тип кредита	Ставка процента	Вероятность невозвращения долга
Кредиты физическим лицам	0,140	0,10
Кредиты на покупку автомобилей	0,130	0,07
Кредиты на покупку жилья	0,120	0,03
Сельскохозяйственные	0,125	0,05
Коммерческие	0,100	0,02

Невозвращенные долги должны вычитаться из возможного дохода.

Конкурентная борьба вынуждает банк не менее 40% капитала помещать в сельскохозяйственные и коммерческие кредиты.

Для содействия строительной индустрии своего региона банк планирует вложить в кредиты на покупку жилья не менее 50% от общей суммы кредитов физическим лицам, на покупку автомобилей и жилья. Банк также поддерживает государственную политику, указывающую, что отношение невозвращаемых долгов ко всей сумме кредитов не должно превышать 0,04.

Сформировать оптимальный портфель кредитов.

X₁ – объем кредитов физическим лицам (дол.)

X₂ – объем кредитов на покупку автомобилей (дол.)

X₃ – объем кредитов на покупку жилья (дол.)

X₄ – объем сельскохозяйственных кредитов (дол.)

X₅ – объем коммерческих кредитов (дол.)

0,04X₁+0,06X₂+0,08X₃+0,12X₄+0,08X₅→max

X₁+X₂+X₃+X₄+X₅≤ 12

X₄+X₅≥4,8

X₃≥0,5(X₁+X₂+X₃)

0,06X₁+0,03X₂-0,01X₃+0,01X₄-0,02X₅≤0 

X₁,X₂, X₃,X₄, X₅≥0

3. Фабрика «Двери» получила заказ на производство дверных блоков, рассчитанный на 3 месяцев. В течении этого срока надо поставить 100, 250, 190 дверных блоков ежемесячно. Стоимость блоков в разные месяцы может быть различной, в зависимости от стоимости трудовых затрат, материалов и фурнитуры. Фабрика подсчитала, что стоимость продукции на следующие 3 месяцев составит 150 дол., 145 дол., 155 дол за один дверной блок.

Учитывая изменения стоимости, фабрика может производить больше дверей, чем необходимо, и использовать ранее произведенную продукцию для покрытия потребностей следующих месяцев.

Однако хранение одного дверного блока стоит 8 дол. в месяц, причем начисления за хранения происходят в конце каждого месяца.

Определите оптимальную временную схему производства.

Xij – количество дверей, произведенных в j–м месяце для i-го месяца

150X₁₁+145X₂₂+155X₃₃+158X₂₁+153X₃₂+166X₃₁→min

X₁₁=100

X₂₁+X₂₂=250

X₃₁+X₃₂+X₃₃=190

X₁₁,X₂₁, X₂₂,X₃₁,X₃₂, X₃₃≥0

4. Производственная фабрика АВС заключила контракт с сетью магазинов компьютерных товаров на поставку 1500 компьютерных мышек и 1200 клавиатур еженедельно. Работая в одну смену, компания АВС не может выполнить этот заказ, поэтому вынуждена ввести сверхурочные смены и воспользоваться услугами субподрядчиков, в результате чего возрастает стоимость продукции.

Найдите оптимальную схему производства каждого вида продукции.

Продукция	Тип производства	Еженедельные производственные возможности (шт.)	Себестоимость единицы продукции (дол.)
Компьютерная мышь	Обычный	0-550	12.00
	Использование сверхурочных	551-800	14.50
	Использование субподрядчиков	801-∞	16.00
Клавиатура	Обычный	0-620	10.00
	Использование сверхурочных	621-900	12.00
	Использование субподрядчиков	901-∞	15.00

X₁₁ – количество компьютерных мышек, произведенных обычным способом

X₁₂ – количество компьютерных мышек, произведенных с использованием сверхурочных

X₁₃ – количество компьютерных мышек, произведенных с использованием суподрядчиков

X₂₁ – количество компьютерных клавиатур, произведенных обычным способом

X₂₂ – количество компьютерных клавиатур, произведенных с использованием сверхурочных

X₂₃ – количество компьютерных клавиатур, произведенных с использованием суподрядчиков

12X₁₁+14,5X₁₂+16X₁₃+10X₂₁+12X₂₂+15X₂₃→min

X₁₁+X₁₂+X₁₃=1500

X₂₁+X₂₂+X₂₃=1200

X₁₁≤550

X₁₂≤250

X₂₁≤620

X₂₂≤280

X₁₁,X₁₂, X₁₃,X₂₁,X₂₂, X₂₃≥0

5. Менеджер по ценным бумагам намерен разместить 100000 ф. ст. капитала таким образом, чтобы получать максимальные годовые проценты с дохода. Его выбор ограничен четырьмя возможными объектами инвестиций: А, В, С и D. Объект А позволяет получать 6% годовых, объект В — 8% годовых, объект С— 10%, а объект D — 9% годовых. Для всех четырех объектов степень риска и условия размещения капитала различны. Чтобы не подвергать риску имеющийся капитал, менеджер принял решение, что не менее половины инвестиций необходимо вложить в объекты А и В. Чтобы обеспечить ликвидность, не менее 25% общей суммы капитала нужно поместить в объект D. Учитывая возможные изменения в политике правительства, предусматривается, что в объект С следует вкладывать не более 20% инвестиций, тогда как особенности налоговой политики требуют, чтобы в объект А было вложено не менее 30% капитала. В проект А должно быть вложено по крайней мере в 2 раза больше, чем в проект С. Найдите оптимальные объемы инвестиций.

X₁ – объем инвестиций в объект А (ф.ст.)

X₂ – объем инвестиций в объект B (ф.ст.)

X₃ – объем инвестиций в объект C (ф.ст.)

X₄ – объем инвестиций в объект D (ф.ст.)

0,06X₁+0,088X₂+0,1X₃+0,09X₄→max

X₁+X₂+X₃+X₄+X₅=100 000

X₁+X₂≥50 000

X₄≥25 000

X₃≤20 000

X₁≥30 000

X₁≥2X₃

X₁,X₂, X₃,X₄≥0

6. Администрация компании "Nemesis Company", осуществляя рационализаторскую программу корпорации, приняла решение о слиянии двух своих заводов в Аббатс-филде и Берчвуде. Предусматривается закрытие завода в Аббатсфилде и за счет этого — расширение производственных мощностей предприятия в Берчвуде. На настоящий момент распределение рабочих высокой и низкой квалификации, занятых на обоих заводах, является следующим:

Квалификация рабочих	Аббатсфилд	Берчвуд
Высокая Низкая	200 300	100 200
Итого	500	300

В то же время после слияния завод в Берчвуде должен насчитывать 240 рабочих высокой и 320 рабочих низкой квалификации.

После проведения всесторонних переговоров с привлечением руководителей профсоюзов были выработаны следующие финансовые соглашения:

1. Все рабочие, которые попали под сокращение штатов, получат выходные пособия следующих размеров:

Квалифицированные рабочие - 2000 ф. ст.;

Неквалифицированные рабочие - 1500 ф. ст.

2. Рабочие завода в Аббатсфилде, которые должны будут переехать, получат пособие по переезду в размере 2000 ф. ст.

3. Во избежание каких-либо преимуществ для рабочих Берчвудского завода доля бывших рабочих завода в Аббатсфилде на новом предприятии должна совпа­дать с долей бывших рабочих Берчвудского завода.

Требуется построить модель линейного программирования, в которой определяется, как осуществить выбор работников нового предприятия из числа рабочих двух бывших заводов таким образом, чтобы минимизировать общие издержки, свя­занные с увольнением и переменой места жительства части рабочих.

7. Три распределительных центра поставляют автомобили трем дилерам. Автомобили от распределительных центров к дилерам перевозятся на трейлерах, и стоимость перевозок пропорциональна расстоянию между пунктами отправления и назначения и не зависит от степени загрузки трейлера.

В таблице приведены расстояния между распределительными центрами и дилерами, а также соответствующие величины спроса и предложения, выраженные в количестве автомобилей.

Составьте оптимальный план перевозок.

Центры	Дилеры			Предложение
	1	2	3
1	100	150	200	400
2	50	100	60	200
3	40	90	100	150
Спрос	100	200	150

Х_ij- количество автомобилей, перевезенных из центра i к дилеру j

100X₁₁+150X₁₂+200X₁₃+50X₂₁+100X₂₂+60X₂₃+40X₃₁+90X₃₂+100X₂₃→min

X₁₁+X₁₂+X₁₃≤400

X₂₁+X₂₂+X₂₃≤200

X₃₁+X₃₂+X₃₃≤150

X₁₁+X₂₁+X₃₁=100

X₁₂+X₂₂+X₃₂=200

X₁₃+X₂₃+X₃₃=150

X₁₁,X₁₂, X₁₃,X₂₁,X₂₂, X_23, X₃₁,X₃₂, X₃₃≥0

8. Фирма занимается составление диеты, содержащей по крайней мере 20 единиц белков, 30 единиц углеводов, 10 единиц жиров и 40 единиц витаминов. Как дешевле всего достичь этого при указанных в таблице ценах на 1 кг( или 1л) имеющихся продуктов?

	Хлеб	Соя	Сушеная рыба	Фрукты	Молоко
Белки	2	12	10	1	2
Углеводы	12	0	0	4	3
Жиры	1	8	3	0	4
Витамины	2	2	4	6	2
Цена	12	36	32	18	10

X₁ – объем хлеба, включаемого в диету (кг)

X₂ – объем сои, включаемого в диету (кг)

X₃ – объем сушеной рыбы, включаемого в диету (кг)

X₄ – объем фрукты, включаемого в диету (кг)

X₅ – объем молока, включаемого в диету (л)

12X₁+36X₂+32X₃+18X₄+10X₅→min

2X₁+12X₂+10X₃+X₄+2X₅ ≥20

12X₁+4X₄+3X₅ ≥30

X₁+8X₂+3X₃+ 4X₅ ≥10

12X₁+36X₂+32X₃+18X₄+10X₅ ≥40

X₁,X₂, X₃,X₄, X₅≥0

9. В пекарне для выпечки 4 видов хлеба используются мука двух сортов, маргарин и яйца. Имеющееся оборудование позволяет переработать в сутки не более 250 кг муки I сорта, 200 кг муки II сорта, 60 кг маргарина и 1380 штук яиц.

Наименование продукта	Нормы	расхода на 1 кг	хлеба	по видам
	1	2	3	4
Мука I(кг)	0,5	0,5	0	0
Мука II(кг)	0	0	0,5	0,5
Маргарин (кг)	0,125	0	0	0,125
Яйцо(шт)	2	1	1	1
Прибыль	14	12	5	6

Определить суточный план выпечки хлеба, максимизирующий прибыль, при условии, что весь запас яиц должен быть исчерпан полностью.

X₁ – объем выпекаемого хлеба 1 вида (кг)

X₂ – объем выпекаемого хлеба 1 вида (кг)

X₃ – объем выпекаемого хлеба 1 вида (кг)

X₄ – объем выпекаемого хлеба 1 вида (кг)

14X₁+12X₂+5X₃+6X₄→max

0,5X₁+0,5X₂≤250

0,5X₃+0,5X₄≤200

0,125X₁+0,125X₄≤60

2X₁+X₂+X₃+ X₄ ≤ 1380

X₁,X₂, X₃,X₄≥0

10. Фирма, специализирующаяся на производстве полуфабрикатов, выпускает три различных продукта, каждый из которых получается путем определенной обработки картофеля. Фирма может закупить картофель у четырех различных поставщиков. При этом объемы продуктов 1, 2, 3 (в тоннах), которые можно получить из одной тонны картофеля первого поставщика, отличаются от объемов, получаемых из того же количества картофеля других поставщиков. Соответствующие показатели приведены в таблице

Продукт	Поставщик 1	Поставщик 2	Поставщик 3	Поставщик 4	План выпуска продукции (т)
1 2 3	0.2 0.2 0.3	0.3 0.4 0.3	0,4 0,5 0,5	0,7 0,5 0,6	100 200 150
Стоимость сырья	5	6	8	10

Какое количество картофеля следует купить у каждого из поставщиков, чтобы затраты были минимальные, а план был выполнен или перевыполнен?

X₁ – количество картофеля, купленного у 1 поставщика (кг)

X₂ – количество картофеля, купленного у 2 поставщика (кг)

X₃ – количество картофеля, купленного у 3 поставщика (кг)

X₄ – количество картофеля, купленного у 4 поставщика (кг)

5X₁+6X₂+8X₃+10X₄→min

0,2X₁+0,3X₂+0,4X₃+0,7X₄≤ 100

0,2X₁+0,4X₂+0,5X₃+0,5X₄≤ 200

0,3X₁+0,3X₂+0,5X₃+0,6X₄≤ 150

X₁,X₂, X₃,X₄≥0