11.2. Применение теории Куна-Таккера к решению зкп.

Сформулируем теорему Куна-Таккера для ЗКП (11.1-11.2).

Теорема 11.1.

Для того чтобы точка была решением задачи (11.1-11.2), необходимо и достаточно существование такого , чтобы точка была седловой точкой функции Лагранжа задачи выпуклого программирования (11.1-11.2).

Так как функция 11.1 является непрерывно дифференцируемой, то справедлива теорема:

Теорема 11.2.

Для того чтобы точка была решением задачи (11.1-11.2), необходимо и достаточно существование такого , чтобы для точки выполнялись условия (11.13)-(11.17). (см.главу 10).

Запишем функцию Лагранжа для ЗКП (11.1-11.2):

Согласно теореме 11.2 выпишем условия существования седловой точки. (11.13-11.17)

(1) , (11.13)

(2) , (11.14)

(3) , (11.15)

(4) , (11.16)

(5) , (11.17)

(6)

Дополним неравенства 11.13 и 11.16 до равенств, введя дополнительные переменные: .

Получим:

, (11.18)

, (11.19)

, (11.20)

, (11.21)

, (11.22)

, .

Равенства 11.19 и 11.21 равносильны более простым, так как векторы и одновременно либо отличны от нуля, либо равны нулю.

,

_,

,

Система уравнений:

(11.23)

(11.24)

содержит (m+n) уравнений с 2(m+n) неизвестными: .

Так как равенства и равносильны равенствам , то по крайней мере (n+m) неизвестных равны нулю.

Следовательно, решение ЗКП сводится к отысканию неотрицательного базисного решения системы уравнений (1-4), которое может быть получено методом искусственного базиса (см. параграф 2.7).

11.3. Решение задач.

Алгоритм решения ЗКП

Пример 11.1:

,

1 шаг. Запишем функцию Лагранжа для данной ЗКП:

2 шаг. Вычислим , :

3 шаг. Запишем условия существования седловой точки.

4 шаг. Вводим дополнительные переменные и получим систему из 4-х уравнений с 8-ю неизвестными:

5 шаг. Выпишем расширенную матрицу полученной линейной системы уравнений:

Так как матрица не является K-матрицей, то добавим к 1-му и второму уравнениям искусственные переменные , в результате чего получим ЗЛП:

Которую решаем симплекс-методом (см. таблицу 11.1).

Таблица 11.1

S	N	C	XN	X1	X2	Y1	Y2	V1	V2	W1	W2	Z1	Z2	θ
0	Z1	-1	4	4	-2	1	1	-1	0	0	0	1	0	1
	Z2	-1	6	-2	4	1	5	0	-1	0	0	0	1
	W1	0	2	1	1	0	0	0	0	1	0	0	0	2
	W2	0	5	1	5	0	0	0	0	0	1	0	0	5
			-10	-2	-2	-2	-6	1	1	0	0	0	0
1	X1	0	1	1	- 1/2	1/4	1/4	-1/4	0	0	0	1/4	0
	Z2	-1	8	0	3	3/2	11/2	-1/2	-1	0	0	1/4	1	8/3
	W1	0	1	0	3/2	-1/4	-1/4	1/4	0	1	0	-1/4	0	2/3
	W2	0	4	0	11/2	-1/4	-1/4	1/4	0	0	1	-1/4	0	8/11
			-8	0	-3	-3/2	-11/2	-1/2	1	0	0	1/2	0
2	X1	0	4/3	1	0	1/6	1/6	-1/6	0	1/3	0	1/6	0	8
	Z2	-1	6	0	0	2	6	-1	-1	-2	0	1	1	1
	X2	0	2/3	0	1	-1/6	-1/6	1/6	0	2/3	0	-1/6	0
	W2	0	1/3	0	0	2/3	2/3	-2/3	0	-11/3	1	2/3	0	1/2
			-6	0	0	-2	-6	1	1	2	0	0	0
3	X1	0	5/4	1	0	0	0	0	0	5/4	-1/4	0	0	1
	Z2	-1	3	0	0	-4	0	5	-1	31	-9	-5	1	3/31
	X2	0	3/4	0	1	0	0	0	0	-1/4	1/4	0	0
	Y2	0	1/2	0	1	1	1	-1	0	-11/2	3/2	1	0
			-3	0	0	4	0	-5	1	-31	9	6	0
4	X1	0	35/31	1	0	5/31	0	-24/124	5/124	0	7/62	25/124	-5/24
	W1	0	3/31	0	0	-4/31	0	5/31	-1/31	1	-9/31	-5/31	1/31
	X2	0	24/31	0	1	-1/31	0	5/124	-1/124	0	11/62	-5/124	1/124
	Y2	0	32/31	0	0	9/31	1	7/62		0	-3/31	7/62	11/62
			0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Пояснение к симплекс-таблице 11.1.

На итерации «0» в базис необходимо ввести переменную Y2, соответствующую минимальной симплекс-разности, но этого сделать нельзя, т.к. переменная W2 является базисной и введение Y2 в базис нарушит условие . По этой же причине нельзя вводить в базис Y1, поэтому вводим в базис X1, что возможно, т.к. V1 не является базисной (можно вводить и X2).

На итерации «1» по этой же причине нельзя вводить в базис Y2.

На итерации «2» переменную Y2 можно ввести в базис, т.к. в этом случае переменная W2 перестает быть базисной (W2=0).

На итерации «3» введение в базис переменной W1 возможно, т.к. переменная Y1 не является базисной (Y1=0)