9.5.4. Экстремальные свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций

Теорема 9.20. Пусть функция сильно вогнута и непрерывна на выпуклом замкнутом множестве . Тогда:

1. множество не пустое и состоит из единственной точки ;

2. имеет место неравенство (9.27) для любого ;

3. любая максимизирующая последовательность , , , сходится к точке .

Эта теорема является обобщением теоремы Вейерштрасса, т.к. от множества не требуется ограниченности. В частности, в теореме возможно .

Доказательство. Если ограничено, то все утверждения теоремы 9.20, кроме (9.27), следуют из теоремы Вейерштрасса.

1. Рассмотрим множество , где . Оно замкнуто и ограничено в силу теоремы 9.17.

В силу теоремы 9.14 функция ограничена на множестве , а следовательно, и на , тогда по теореме Вейерштрасса существует точка , такая что , но из определения множества следует, что , т.е. .

Так как сильно вогнутая функция является и строго вогнутой (теорема 9.13), то в силу теоремы 9.11 множество состоит из единственной точки .

2. Из определения сильной вогнутости функции (9.14) для следует

(9.28)

В силу неравенства из соотношения (9.28) получим условие (9.27) теоремы:

или или

(9.29)

для любого .

3. Пусть существует максимизирующая последовательность , т.е. .

Полагая в (9.29) , получим

Отсюда при следует, что .

Глава 10. Выпуклое программирование

10.1. Постановка задачи

Задачей выпуклого программирования называется следующая задача

, (10.1)

, (10.2)

где – заданное выпуклое множество из , определены и выпуклы на , определена и вогнута на .

В дальнейшем под множеством будем понимать положительный октант

, (10.3)

т.е. будем рассматривать следующую задачу выпуклого программирования

(10.4)

, (10.5)

В силу теоремы 9.4 множество выпукло.

Пример 10.1. Задача квадратичного программирования

, (10.6)

, (10.7)

где – отрицательно определенная матрица, – заданный вектор из , – заданная матрица, представляет собой задачу выпуклого программирования.

Пример 10.2. Основная задача линейного программирования

, (10.8)

, (10.9)

где – заданная матрица порядка , – заданный вектор из , – заданный вектор из , является частным случаем задачи выпуклого программирования.

10.2. Функция Лагранжа. Седловая точка функции Лагранжа, условия ее существования Определение 10.1. Функция , (10.10)

где , называется функцией Лагранжа для задачи выпуклого программирования (10.4), (10.5).

Определение 10.2. Точка называется седловой точкой функции Лагранжа (10.10) на множестве , , если

1. , , (10.11)

2. для всех , .

Соотношение (10.11) можно переписать следующим образом:

(10.12)

В задачах выпуклого (и, в частности, квадратичного и линейного программирования) функция Лагранжа играет важную роль, а именно при довольно общих предположениях задача выпуклого программирования сводится к отысканию седловых точек функции Лагранжа. “Простые” же ограничения задачи (10.12) позволяют применять для ее решения методы, схожие с численными методами безусловной оптимизации.

Следующая теорема дает другое, равносильное (10.11), определения седловой точки.

Теорема 10.1. для того чтобы точка была седловой точкой функции Лагранжа, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условие:

(10.13)

для всех , , , . (10.14)

Доказательство.

Необходимость. Пусть – седловая точка. Тогда условие (10.13) представляет собой левое неравенство (10.11). Получим условия (10.14). Перепишем правое неравенство (10.11), подставив в него (10.10):

, (10.15)

отсюда , , . (10.16)

Рассмотрим точки , , где и при всех остальных , .

Из (10.16) при получим , , т.е. .

Теперь рассмотрим точки , , и из (10.16) получим при ,

или (10.17)

для всех .

Но , при , поэтому неравенство (10.17) возможно только при для всех , т.е. соотношения (10.14) получены.

Достаточность. Пусть для некоторой точки выполняются условия (10.13), (10.14). Покажем, что – седловая точка. Необходимо доказать выполнение правого неравенства из (10.11). По условию (10.14) точка , т.е. для всех . Если для некоторого , то . Если для некоторого , то из условия (10.14) следует, что и для любого . Таким образом для всех , откуда и , или для всех , т.е. доказано выполнение правого неравенства (10.11).

Теорема 10.2. Устанавливает условия существования седловой точки. Предположим, что в задаче выпуклого программирования (10.4), (10.5) функции , , являются непрерывно-дифференцируемыми при . Тогда, для того чтобы точка была седловой точкой функции Лагранжа в области , , необходимо и достаточно выполнение условий

, (10.18)

, (10.19)

, (10.20)

, (10.21)

, (10.22)

, (10.23)

где

(10.24)

(10.25)

Запишем условия (10.18)-(10.23) в эквивалентной форме:

, (10.26)

, (10.27)

, (10.28)

, (10.29)

, (10.30)

, (10.31)

Необходимость. Пусть выполняется условие (10.11) в области , . В частности, отсюда следует, что для всех , т.е. точка является точкой максимума функции одного переменного на полупрямой . Условия (10.26)-(10.28) являются необходимыми условиями локального максимума при для функции одного переменного (если , то , если , то ).

Аналогично доказывается справедливость условий (10.29)-(10.31) (функция линейная по ).

Достаточность. Пусть для некоторой точки выполняются условия (10.18)-(10.23). Так как функция вогнута, а функции – выпуклы, , то функция вогнута по при .

Пользуясь неравенством (9.3), получим ,

откуда из (10.18) и (10.19) получаем

т.е. для любого , т.е. доказано выполнение левого неравенства (10.11).

Функция линейная и, следовательно, выпуклая по при любом . Пользуясь для выпуклой функции неравенством, аналогичным (9.3), получим , откуда из (10.21) и (10.22) получаем правое неравенство в (10.11)

для любого .