9.4. Экстремальные свойства вогнутых (выпуклых) функций

Определение 9.5. Функция достигает на замкнутом множестве в точке глобального максимума, если для всех .

Определение 9.6. Функция достигает на замкнутом множестве в точке локального максимума, если существует число такое, что для всех , где

Для функции, график которой изображен на рис. 9.1, точки , , , являются точками локального максимума, – точка глобального максимума.

Рисунок 9.1.

Теорема 9.11. Пусть множество выпукло, а функция определена и вогнута на , тогда:

1. всякий локальный максимум этой функции является и глобальным максимумом этой функции;

2. множество точек глобальных максимумов является выпуклым множеством, т.е. – выпуклое множество;

3. если строго вогнута на , то содержит не более одной точки.

Доказательство.

1. Пусть – точка локального максимума на множестве . Это значит, что существует окрестность точки такая, что для всех .

Возьмем произвольную точку и число , столь малое, что . Тогда точка , и, так как функция вогнута, имеем или . Откуда получаем, что для любого . Следовательно, – точка глобального максимума, т.е. .

а) Если , то оно выпукло по определению.

б) Если , но , то оно выпукло по определению.

в) и содержит более двух точек.

Пусть , т.е. .

Тогда ,

т.е. при всех , .

Следовательно, , , т.е. – выпуклое множество.

3. Пусть функция строго выпукла на и пусть , т.е. множество содержит более одной точки и . Тогда в силу строгой вогнутости получим или , для всех , .

Полученное неравенство противоречит определению глобального максимума, т.е. предположение о существование двух точек максимума и является неверным.

Теорема 9.12. Критерий оптимальности для вогнутых функций.

Пусть – выпуклое множество, функция , . Тогда в любой точке необходимо выполняется неравенство

(9.12)

для всех . Причем, если , то неравенство (9.12) обращается в равенство . Если вогнута на , то условие (9.12) является достаточным для того, чтобы .

Доказательство. Необходимость. Пусть . Рассмотрим произвольную точку , очевидно, что направление будет возможным в силу выпуклости , производная функции в точке по этому направлению равна .

Но , следовательно, .

Пусть , тогда по доказанному выше выполняется соотношение (9.12), однако в силу произвольности , а следовательно, и необходимо, чтобы . Если – граничная точка множества , то равенство может выполняться, может и не выполняться.

Достаточность. Пусть функция является вогнутой на , пусть для некоторой точки выполнено условие (9.12): для всех .

Так как вогнута, то по теореме 9.8. имеем

или при всех или

при всех , т.е. .

9.5. Сильно вогнутые (выпуклые) функции

9.5.1. Определение. Примеры

Непрерывная вогнутая (выпуклая) функция на выпуклом замкнутом множестве может не достигать своей верхней (нижней) грани.

Пример 9.3. Если и , то , но при всех .

Существует подкласс вогнутых (выпуклых) функций, для которых на непустом замкнутом выпуклом множестве всегда существует точка максимума.

Определение 9.7. Функция , определенная на выпуклом множестве , называется сильно вогнутой (выпуклой), если существует постоянная такая, что

(9.14.) при всех и всех .

Постоянная называется константой или параметром сильной выпуклости (вогнутости) на множестве .

Пример 9.4.

1. Функция , является сильно выпуклой функцией на всем пространстве . Неравенство (9.14) для этой функции превращается в тождественное равенство с константой

при всех , .

2. Линейная функция вогнута на , но не сильно вогнута.

3. Функция при вогнута, но не будет сильно вогнутой при .