9.3. Критерии вогнутости (выпуклости) гладких функций

Непрерывно-дифференцируемую на множестве функцию будем называть гладкой функцией. Множество таких функций принято обозначать через .

Дважды непрерывно-дифференцируемую функцию будем называть дважды гладкой.

Теорема 9.8. Пусть – выпуклое множество, функция . Для того чтобы была вогнута (выпукла) на , необходимо и достаточно выполнение неравенства , для всех (9.3)

Доказательство. Необходимость. Пусть функция вогнута на множестве . Перепишем неравенство (9.1) в виде

, , , или , или

, где , (9.4),

Так как функция , то в неравенстве (9.4) можно перейти к пределу :

.

Откуда получаем требуемое неравенство (9.3)

или

.

Достаточность. Пусть для некоторой гладкой функции на выпуклом множестве выполняется неравенство (9.3). Покажем, что тогда вогнута на . Возьмем произвольные точки и число , . Рассмотрим точку . Для пары точек , из неравенства (9.3) получим соответственно

, (9.5)

, (9.6)

Умножим неравенство (9.5) на , (9.6) – на и сложим. Получим: , или , т.е. (9.1).

Замечание. В случае функции одной переменной неравенство (9.3) имеет вид , откуда следует, что график вогнутой функции лежит не выше касательной к этому графику в любой точке .

Теорема 9.9. Пусть – выпуклое множество, функция . Тогда, для того чтобы была вогнута (выпукла) на , необходимо и достаточно выполнение неравенства для всех

Теорема 9.10. Пусть – выпуклое множество из , , функция . Тогда для вогнутости (выпуклости) на необходимо и достаточно выполнение неравенства

(9.7)

для всех и , где

(9.8)

Замечание. Условие (9.7) представляет собой условие неположительности квадратичной формы на :

. (9.9)

Существует алгебраический критерий неположительности квадратичной формы: для того чтобы квадратичная форма для всех , необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы имели следующие знаки:

(9.10)

Условие – условие неотрицательности квадратичной формы.

Алгебраический критерий неотрицательности квадратичной формы: для того чтобы выполнялось условие квадратичной формы для всех , необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы были неотрицательны

. (9.11)

Неравенство (9.7) является удобным средством проверки вогнутости (выпуклости) дважды гладких функций.

Пример 9.1. Вогнутой функцией является квадратичная функция с неположительно определенной матрицей. Для того чтобы квадратичная функция была вогнутой, необходимо и достаточно, чтобы симметрическая матрица была неположительно определенной.

Доказательство.

но , следовательно, для того чтобы выполнялось соотношение (9.1), необходимо и достаточно, чтобы произведение , что выполняется, если С – неположительно определенная матрица.

Пример 9.2. Определить вогнутость (выпуклость) функции

(*)

Матрица имеет следующий вид

Так как главные миноры матрицы имеют знаки , , , то по (9.7) и (9.10) квадратичная форма (*) неположительна и на основании теоремы (9.10) функция вогнута на .