14. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного.

Для того чтобы функция  , определённая в некоторой области   комплексной плоскости, была дифференцируема в точке   как функция комплексного переменного  , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части   и   были дифференцируемы в точке   как функции вещественных переменных   и   и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

Компактная запись:

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная   представима в любой из следующих форм:

15. Линейная функция.

16. Функциональные ряды. Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости ряда.

 Ряд, членами которого являются функции комплексного переменного  , определенные на некотором множестве   комплексной плоскости, называется функциональным рядом в комплексной плоскости и обозначается

Последовательность  , где  , называется последовательностью частичных сумм ряда (3.1), где   — частичные суммы.

Ряд (3.1) называется сходящимся ни множестве  , если на множестве   сходится последовательность его частичных сумм, т.е. существует предел этой последовательности, который называется суммой ряда 

Теорема Вейерштрасса. Если для функционального ряда  (1) можно указать такой сходящийся числовой ряд  , что для всех n и для всех  выполняется условие  (2), то ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на множестве Е.

17. Степенные ряды. Теоремы Абеля о сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд, члены которого образованы степенями   или  , то есть ряд вида

или

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке  , то он сходится, и притом абсолютно, для любого  , удовлетворяющего неравенству  .

18. Определение интеграла от функции комплексного переменного.

Пусть на комплексной плоскости задана кривая   с разбиением на   частичных дуг точками   ,причем  , а также в каждой точке   задана непрерывная функция комплексного переменного  , тогда:интегралом от функции   по кривой   называется предел:

где  . Учитывая, что   и, следовательно,  , а также  , после подстановки интеграл может быть записан в форме: