7. Последовательности комплексных чисел. Критерий Коши.

8. Подпоследовательности последовательности комплексных чисел. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называетсяподпоследовательностью заданной последовательности.

Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности комплексных чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

7. Ряды комплексных чисел. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z₁, z₂, z₃, …, z_n, … .Действительную часть числа z_n будем обозначать a_n, мнимую - b_n(т.е. z_n = a_n + i b_n, n = 1, 2, 3, …).          Числовой ряд - запись вида  .          Частичные суммы ряда: S₁ = z₁, S₂ = z₁ + z₂, S₃ = z₁ + z₂ + z₃, S₄ = z₁ + z₂ + z₃ + z₄, …, S_n = z₁ + z₂ + z₃ + … + z_n, … 

Комплексный числовой ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм является сходящейся. Конечный предел S этой последовательности называется суммой данного ряда.

10. Определение функции комплексного переменного. Вещественная и мнимая части функции комплексного переменного.

Если А –  некоторое множество точек комплексной плоскости, и каждому числу z А поставлено в соответствие по некоторому закону число w  В (где В –  также множество комплексных чисел), то говорят, что на множестве А определена функция комплексного переменного z (или отображение множества А в В ). Записывают: w  = f (z).

Пример : Дана функция   f (z) = z³ + i . Найти мнимую и действительную части этой функции.

Решение:  f (z) = (х + i у)³ + i = x³ + 3x²iy + 3x(iy)² + (iy)³ +  i = x³ – 3xy²  + i (3x²y – y³ + 1).

Откуда u(x,y) = x³ – 3xy² , v(x,y) =  3x²y – y³ + 1.

11. Определение функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

 Необходимые и досттаточные условия для существования :

 

 

при том, что

 

Непреывной функцию в т. можно назвать при условии, что:

определена в т. и ее окрестности;

12. Непрерывные функции комплексного переменного. Свойства непрерывных функций комплексного переменного.

Для того чтобы функция   была непрерывна в точке  , необходимо и достаточно, чтобы в точке   были непрерывны функции

, где  .

13. Производная и дифференциал. Правила дифференцирования.

Приращением функции w = (z) в т. z называется

Производной (z) функции w = (z) в т. z называется   если предел существует и конечен при любом способе стремления к 0. Функция, имеющая производную в т. z, называется дифференцируемой в этой точке.

Правила дифференцирования:

1. Сумма и произведение дифференцируемых в точке функций,  есть функция и справедливы равенства:

2. Частное дифференцируемых в точке функций, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю, есть дифференцируемая в этой точке функция, :

3. Сложная функция f( (z)) дифференцируема в точке z₀, если в этой точке дифференцируема функция  (z), а функция f(u) дифференцируема в точке u₀, где u₀ =  (z₀) и u =  (z). При этом в точке z₀ имеет место формула: