Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. К числу таких уравнений относятся, например, уравнения вида

,

где — постоянные величины, которые заменой переменных преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными. Действительно, переходя к новым переменным , будем иметь

,

или , и переменные разделились. Интегрируя, получим

.

Пример 1. .

Полагая , будем иметь

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Пример 2. .

Полагая , получим

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие вид .

Действительно, после подстановки или получим

Другая запись. Дифференциальное уравнение называется однородным, если — однородная функция нулевой степени.

Функция называется однородной степени , если для любого выполняется равенство

(6)

Например, функции являются однородными степени соответственно 0, 1, 2, .

Замена

(7)

приводит при однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, так как — однородная функция нулевой степени, то из (6) получаем равенство

. (8)

Из (7) имеем

. (9)

Подставив (8) и (9) в исходное уравнение , получаем уравнение с разделяющимися переменными . В случае аналогичный результат достигается заменой .

Заметим, что правая часть однородного уравнения является однородной функцией переменных нулевой степени однородности, поэтому уравнение вида (либо, в другой записи, ) будет однородным, если и являются однородными функциями и одинаковой степени однородности, так как в этом случае

.

Пример 3. .

Полагая и подставляя в исходное уравнение получим

Пример 4. .

Полагая , получим

Пример 5. .

Положив , получим . Далее .

Дифференциальное уравнение вида

(10)

называется обобщенным однородным уравнением. Оно приводится к однородному линейной заменой

, (11)

где — координаты точки пересечения прямых

Фактически, мы переносим начало координат в точку пересечения прямых.

Действительно, в этом случае справедливы равенства:

Поэтому, в силу (11), правая часть уравнения (10) принимает вид

.

Кроме того, из (11) получаем . Таким образом, уравнение (10) переходит в уравнение , правая часть которого есть однородная функция нулевой степени, в силу чего последнее уравнение является однородным.

Если же наши прямые не пересекаются, то в этом случае и, следовательно, . Тогда (10) переходит в уравнение

,

которое приводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены .

Пример 6. .

Перепишем уравнение в форме

. (12)

Это уравнение является обобщенным однородным. Чтобы привести его к однородному, найдем точку пересечения прямых

(13)

Из (13) получаем . В уравнении (12) производим замену

и получаем однородное уравнение . В полученном уравнении положим . Тогда имеем:

. (14)

Функция является решением полученного уравнения. Остальные его решения найдем, разделяя переменные:

, или

. (15)

Решения получаем из формулы (15) при .

Переходя к переменным , получим .

Пример 7. .

Решая систему уравнений , получим . Полагая , будем иметь

.

Замена переменных или приводит к уравнению с разделяющимися переменными

,

Дифференциальное уравнение называется квазиоднородным, если функция является квазиоднородной степени , т.е. если при выполняется соотношение

. (16)

Замена

(17)

приводит квазиоднородное уравнение к однородному. Действительно, в силу (16), положив , получаем

. (18)

Подставляя в исходное уравнение, получаем

, откуда, в силу (18), .

Последнее уравнение является однородным.

Пример 8. .

Чтобы данное уравнение было квазиоднородным, необходимо, в силу (16), чтобы

,

или ,

т.е. чтобы система уравнений была совместной. Эта система эквивалентна одному уравнению , имеющему бесчисленное множество решений. Таким образом, исходное уравнение является квазиоднородным. Чтобы привести его к однородному уравнению, производим замену , в результате которой получаем . Последнее уравнение является однородным.