Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида

(4)

называются уравнениями с разделенными переменными. Функции и будем считать непрерывными.

Предположим, что является решением этого уравнения, тогда при подстановке в уравнение (4) получим тождество, интегрируя которое, будем иметь

, (5)

где — произвольная постоянная.

Мы получили конечное уравнение (5), которому удовлетворяют все решения уравнения (4), причем каждое решение уравнения (5) является решением уравнения (4), так как если некоторая функция при подстановке обращает уравнение (5) в тождество, то, дифференцируя это тождество, обнаружим, что удовлетворяет и уравнению (4).

Конечное уравнение , которое определяет решение дифференциального уравнения как неявную функцию , называется интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения.

Если это конечное уравнение определяет все без исключения решения данного дифференциального уравнения, то оно называется общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения. Следовательно, уравнение (5) является общим интегралов уравнения (4). Для того, чтобы уравнения (5) определяло как неявную функцию , достаточно потребовать, чтобы .

Вполне возможно, что в некоторых задачах неопределенные интегралы и нельзя будет выразить в элементарных функциях, тем не менее мы и в этом случае будем считать задачу интегрирования дифференциального уравнения (4) выполненной в том смысле, что мы свели ее к более простой и уже изученной в курсе матанализа задаче вычисления неопределенных интегралов — квадратур. Так как термин «интеграл» в теории дифференциальных уравнений часто применяется в смысле интеграла дифференциального уравнения, то во избежание недоразумений для интегралов функций обычно применяется термин «квадратура».

Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условию , то оно, очевидно, определится из уравнения . Определим константу. Удовлетворяя начальному условию, т.е. подставляя , получим , откуда искомое частное решение в неявной форме определяется интегралом .

Пример 1. . Переменные разделены, так как коэффициент при является функцией только , а коэффициент при является функцией только . Интегрируя, получим или — семейство окружностей с центром в начале координат.

Пример 2. . Интегрируя, получаем . Интегралы и не берутся в элементарных функциях, тем не менее исходное уравнение считается проинтегрированным, так как задача доведена до квадратур.

Уравнения вида , в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от , называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными, так как путем деления на они приводятся к уравнению с разделенными переменными: . Заметим, что деление на может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение , а если функции и могут быть разрывными, то возможно появление лишних решений, обращающих в нуль множитель .

Пример 3. . Разделяем переменные и интегрируем: . Потенцируя, получим . Если речь идет только о гладких решениях, то уравнение , где , эквивалентно уравнению или , где может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но не равняться нулю. Если же принять во внимание, что при делении на мы потеряли решение , то можно считать, что в решении постоянная может и равняться нулю. При этом мы получаем потерянное ранее решение .

Если в этом примере считать переменные и равноправными, то уравнение , теряющее смысл при , надо дополнить уравнением , как мы делали ранее. Такое уравнение, очевидно, имеет еще решение , не содержащееся в найденном выше решении .

Пример 4. . Разделяем переменные и интегрируем:

Пример 5. . Найти решение , удовлетворяющее условию .

Разделяем переменные и интегрируем:

.

Пример 6. Пусть — потенциал скоростей плоскопараллельного течения жидкости. Найти уравнение линий тока.

Линии тока являются ортогональными траекториями семейства эквипотенциальных линий . Находим угловой коэффициент касательной к эквипотенциальным линиям: . Следовательно, дифференциальное уравнение линий тока имеет вид , или ; интегрируя, получаем — семейство гипербол.

Пример 7. Полый однородный металлический шар, имеющий внутренний радиус , а внешний , находится в стационарном тепловом состоянии, причем температура на его внутренней поверхности равна , а на наружной . Найти температуру на расстоянии от центра шара, .

Из соображений симметрии следует, что является функцией только .

Так как между двумя концентрическими сферами с центрами в центре шара (их радиусы могут изменяться от до ) количество тепла остается неизменным, то через каждую сферу протекает одно и то же количество тепла . Следовательно, дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемый процесс, имеет вид , где — коэффициент теплопроводности.

Разделяя переменные и интегрируя, получим искомую зависимость :

Для определения используем условие: при :

.

Рассмотрим теперь несколько другую запись. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть представима в виде . В случае, когда , общее решение уравнения с разделяющимися переменными задается соотношением .

Пример 8. Пусть . Это уравнение с разделяющимися переменными, так как , а .

Пусть , тогда , или . Поскольку , то общее решение исходного уравнения , где — произвольная постоянная.