Учебные вопросы

1. Понятие о выборочном исследовании

2. Ошибки выборки

3. Оптимальная численность выборки

4. Способы распространения характеристик выборки на генеральную совокупность

5. Способы отбора единиц из генеральной совокупности

1. Понятие о выборочном исследовании

Выборочное наблюдение – это основной вид не сплошного наблюдения.

При выборочном наблюдении характеристика всей совокупности единиц дается по некоторой их части, отобранной в случайном порядке. Отобранная часть изучается, а результаты распространяются на всю исходную совокупность.

Широкое распространение ВН объясняется тем, что они требуют значительно меньше сил и средств, чем сплошные. При выборочном методе обследования подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно – 10 – 15% реже – 15 – 25%).

Преимущество выборочного наблюдения по сравнению со сплошным можно реализовать, если оно организовано и проведено в строгом соответствии с научными принципами теории выборочного метода. Такими принципами являются:

- обеспечение случайности (равной возможности попадания в выбор.);

- достаточного их числа.

Основная задача ВН в экономике состоит в том, чтобы на основе характеристик выборочной совокупности (средней и долей) получить достоверные суждения о показателях средней и долей в генеральной совокупности.

2. Ошибка выборки

В связи с тем, что изучаемые статистикой признаки варьируют, то состав единиц, попавших в выборку, может не совпасть с составом изделий во всей партии.

N – объем генеральной совокупности – вся совокупность единиц.

n – объем выборки – часть совокупности единиц которая подвергается

выборочному обследованию.

– генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной

совокупности).

– выборочная средняя.

Р – генеральная доля (доля единиц, обладающих данным значением признака

в числе единиц генеральной совокупности).

W – выборочная доля.

- генеральная дисперсия.

_выб. – выборочная дисперсия того же признака.

- СКО в генеральной совокупности.

-_выб – СКО в выборке.

3. Оптимальная численность выборки

для доли (альтернативного признака).

Аналогично из формул предельной ошибки выборки для бесповторного отбора находим, что.

для средней.

для доли (4).

Пример: Для определения среднего возраста 1200 студентов факультета необходимо провести выборочное обследование без повторного отбора. Предварительно установить, что =10,00 доли. Сколько студентов нужно обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 средняя ошибка выборки не превышала 3 года.

Р=0,954 t=2

Возможные переделы отклонений выборочной доли (W) и выборочной средней (Х) от доли (Р) и средней (Х) в генеральной совокупности носят название ошибки выборки. Ошибка выборки свойственна только выборочным наблюдениям. Чем выше величина этой ошибки, тем, следовательно, в большей степени сводные показатели ВН отличаются от сводных показателей всей совокупности.

При соблюдении принципа случайного отбора ошибка выборки определяется, прежде всего, численностью выборки. Чем больше n при прочих равных условиях, тем меньше величина ошибки выборки.

От выборки также определяется степень варьирования изучаемого признака ( ). При одинаковой численности выборочных совокупностей ошибка выборки будет меньше в той совокупности, которая отобрана из генеральной совокупности с меньшей изучаемого признака. Логически это вполне понятно: уменьшение варьирования признака означает снижение величины дисперсии. Если признак не варьирует, т.е. у всех единиц совокупности одинаковое значение признака, то величина . Не будет и ошибки выборки.

При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам:

для средней количественного признака:

для доли (альтернативного признака)

Использование формулы (1) предполагает, что известна генеральная дисперсия . Но при проведении выборочных обследований эти показатели, как правило, неизвестны.

На практике для определения средней ошибки выборки обычно используются дисперсии выборочной совокупности .

В математической статистике доказывается следующее соотношение между дисперсиями в генеральной и выборочной совокупностях.

(3)

Если n достаточно велико, то отношение близко к единице.

Например: n=100 значение , а при n=500 значение

, то можно применять, что .

И только в случаях малой выборки (когда объем выборки не превышает 30) необходимо учитывать коэффициент и исчислять среднюю ошибку малой выборки по формуле:

(4)

Повторная выборка в практике встречается очень редко. Обычно выборку организуют сами, так называемой бесповторной выборкой, при которой единица совокупности, попавшая в выборку, в дальнейшем уже в выборке не участвует.

Для бесповторной выборки разные формулы средней ошибки выборки примут такой вид:

для средней количественного признака

(5)

для доли (альтернативного признака)

Так как n всегда меньше N, то дополнительный множитель всегда будет меньше единицы. Отсюда следует, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном.

Необходимо нужно отметить, что ошибка выборки зависит главным образом от абсолютной численности выборки и меньшей степени – от ее относительной доли (процента выборки).

Пример: Предположим, что производится 225 наблюдения в первом случае из генеральной совокупности в 4500 единиц и во втором – из генеральной совокупности в 225 000 единиц. Пусть дисперсия в обоих случаях . Тогда в первом случае при 5% отборе ошибка выборки составит:

Во втором случае при 0,1% - отборе она будет равна;

Хотя, во втором случае процент выборки уменьшился в 50 раз, ошибка выборки увеличилась очень незначительно, так как численность выборки не изменилась.

Если, увеличим, численность выборки предположим до 625 наблюдений при N=225 000, тогда ошибка выборки;

Увеличив, n=2,8 раза мы снизили размеры ошибки более чем в 1,6 раз. Допустим, средняя продолжительность горения лампочки по выборке данных состоит 300 ч. при этом ошибка выборки равно 10 ч, то средняя продукт горения всей партии лампочек, из которой взята выборка, будет находиться в пределах 300 + 10 (290 – 310).

Однако то, что генеральная средняя (или генеральная доля) не выйдет за определенные пределы, можно утверждать не с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной степенью вероятности.

Утверждение о том, что генеральные характеристики не отклоняются от выборочных на величину большую, чем величина ошибки выборки, всегда имеют постоянную степень вероятности, ровную 0,683. Значит, из 1000 выборок в 683 выборках сводная характеристика генеральной совокупности будет отличаться от сводной характеристики выборочной совокупности не больше чем на величину одного , но остальных 317 выборках из 1000 она может отличаться и в большей степени.

Можно повысить вероятность нашего утверждения, если расширить пределы отклонений, приняв в качестве меры, скажем удвоенную ошибку выборки – два .

Это означает, что t_ср горения находят в предела Х 300 + 20 (280-320). В этом случае вероятности нашего утверждения достигнет уже 0,954, т.е. только в 46 выборках из 1000 статистических выйдет за пределы удвоенного .

П ри з вероятность = 0,997, таким образом, она все более и более приближается к 1.

Предельная ошибка выборки (д) связана со средней ошибкой следующим равенством.

t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой можно

гарантировать, что предел ошибка не превысит t – кратную среднюю

ошибку.

t =1,0 t =1,1 t =2,0 t =2,5 t =3,0 t =3,28

вероятность = 0,6827 = 0,7287 0,9545 0,9876 0,99730,9990