3.Структурные средние величины. Квантиль мода и медиана

Особым видом средних величин является структурная средняя. Она применяется для издания внутреннего строения и структуры рядов распределения значения признака. К таким показателям относятся мода и медиана (квантили).

К структурным характеристикам ряда распределения относятся квантили распределения (медиана, кварталы, децили и другие) и моду.

Квантиль – это значение признака Х, занимающая определенное место, упорядоченной по данному признаку совокупности.

Виды квантилей:

1.Медиана (М_е) – значение признака, приходящаяся не средину упорядоченной совокупности.

2.Кварталы

3.Децили (Q_0.1, Q_0.2, …..Q_0,5) – значения признака, делящие упорядоченную совокупность на 10 ровных частей.

4. Процентилы (Q_0,01, Q_0,02, …..Q_0,9) - значения признака, деление упорядоченной совокупности на 100 ровных частей.

Номер медианы для нечетного объема вычисляется по формуле:

, n – число членов рода.

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.

, медиана равна 700 тысяч, т.е. одна половина рабочих получит ЗП минимум 700 сомони, а другая больше 700 сомони в месяц).

Модой в статистике называется величина признака (варианта) которая чаше всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет вариант, имеющий наибольшую частоту.

Медианой в статистике называется вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее (вверх и вниз) находится одинаковое количество единиц совокупности.

Мода применяется в тех случаях, когда нужно охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака. Например, узнать наибольше распространенный размер ЗП на предприятии цену на рынке, по которой было продано наибольшее количество товаров, размер ботинок, пользовавшийся наибольшим спросом у потребителей и т.д.

Медиана показывает количественную границу значения варьирующего признака, которую достигла половина членов совокупности.

Нахождение моды и медианы в дискретном вариационном ряду.

Таблица.7

Группа семей по числу дней	Число Семей
1	2
0	10
1	30
2	75
3	45
4	20
5	15
6	6
Итого:	201

Чтобы найти медиану в дискретном вариационном ряду, нужно сумму частот разделить пополам и к полученному результату добавить

Если бы у нас была четная сумма частей (скажем 200), то применяя, указанную выше формулу мы получим номер медианой вариантности 100,5. Поскольку варианты дробными не бывают, медиана находится по середине между 200-й и 101 вариантами.

Расчет моды и медианы в интервальном вариационном ряду.

Распределение рабочих по заработной плате Таблица. 8

Группа рабочих по размеру месячной ЗП, сомон	Число Рабочих
1	2	3
130-140	10	10
140-150	50	60
150-160	100	160
160-170	115	275
170-180	180	455
180-190	45	500
Итого:	500	-

Чтобы найти моду, первоначально определим модальный интервал данного ряда. Из примера видно, что наибольшая частота соответствует интервалу, где вариант лежит в переделах от 170 до 180. Это и есть модальный интервал.

Для расчета определенного значения модальной величины признака, заключенного в этом интервале, применяют такую формулу.

Где, Х_Мо – минимальная граница модального интервала (в нашем примере 170);

i_Mo – величина модального интервала (10);

t_Mo – частота модального интервала (180);

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующая модальному (115);

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным (45).

Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определим сначала интервал, в котором он находится (медианный интервал). Таким интервалом будет такая кумулятивная частота, которая равна или превышает половину суммы 500:2=250 . Согласно таблицам медианным интервалом у нас будет интервал со значением ЗП от 160 до 170 сомони.

До этого интервала сумма накопленных частот составило 160, следовательно, чтобы получить значение медианы, необходимо прибавить еще до единиц (250-160). При определении значения медианы предполагает, что значение единицы в границах интервала распределяется равномерно. Следовательно, если 115 единиц, находящихся в этом интервале, распределяются равномерно в интервале, равном 10, то 90 единицам будет соответствовать следующая его величина:

М_е=160+7,8=167 с. 80д.

Х_ме – начальное значение медианного интервала;

L_мe – величина медианного интервала;

/2- сумма частот ряда;

S_ме-1 – сумма накопленных частот в интервалах, присущих медианному;

f_ме – частота медианного интервала (115)

.

Тестовые задания по теме.

1. Которой из нижеприведенных формул характеризует общую формулу степенных средних?

a) ;

b) ;

c) ;

d) нет правильного ответа;

e) .

2. Средняя арифметическая простая определяется по формуле:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) нет правильного ответа.

3. Имеются следующие данные:

Выручка деталей за смену одним рабочим, шт.	Число рабочих
18 19 20 21 22	2 4 5 3 1

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

4. По какой из ниже приведенных формул определяется средняя арифметическая «способом моментов»:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

5. Имеются следующие данные по распределению малых предприятий региона по стоимости основных производственных фондов (ОПФ) в 1998 г.

Группа предприятий по стоимости ОПФ, млн. сом.	Число предприятий
14-16	2
16-18	6
18-20	10
20-22	4
22-24	3

Используя «способ моментов» определите среднюю стоимость основных фондов малых предприятий регионов:

a) млн. сом.;

b) млн. сом.;

c) млн. сом.;

d) млн. сом.;

e) млн. сом.

6. По какой из ниже приведенных формул исчисляется средняя гармоническая взвешенная:,

a) ;

b) ;

c) ;

d) нет правильного ответа;

6. .

7. Имеются следующие данные о цене и выручки от реализации по трем коммерческим магазинам в октябре 1999 г.

Номер магазина	Цена картофеля сом/кг.	Выручка от реализации тыс. сомони
1-ый	0,200	2,4
2-ой	0,250	1,5
3-ий	0,225	1,8
ИТОГО:	-	5,7

Определите среднюю цену 1 кг. картофеля по трем коммерческим магазинам:

1. 0,270 сом;

2. 0,250 сом;

3. 0,219 сом;

4. 0,350 сом;

5. 0,150 сом.

8. Имеются следующие данные:

Вид вклада	Сумма вкладов, тыс. сом.	Ср. размер вклада, тыс. сом.
До востребования	500	2.500
Срочный	600	3.000

Найдите средний размер вклада по двум их видам:

1. 3,5 тыс. сомони;

2. 1,5 тыс. сомони;

3. 2,0 тыс. сомони;

4. 2,9 тыс. сомони;

5. 18 тыс. сомони.

9. По какой из ниже приведенных формул исчисляется средняя геометрическая?

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

10. В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Нет правильного ответа.

11. Значение медианы вычисляется по формуле:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

12. Имеются следующие данные об остатках сырья и материалов на складе предприятия (тыс.сом.):

на 1,01 ……..400

на 1,02 ……..455

на 1,03 ……..465

на 1,04 ……..460

Требуется определить среднемесячный остаток на складе предприятия за 1 квартал:

1. 350;

2. 400;

3. 500;

4. 450;

5. 550.

13. Имеются данные о валютном курсе, установленным ЦБ на начало каждого месяца и 4 квартала 2002г. Котировка доллара США, сом. за 1 долл.

1.09.02 – 2.10

1.10.02 – 2.70

1.11.02 – 2.53

1.12.02 – 2.70

Требуется определить среднемесячный курс доллара в 4 квартал 2002 года:

1. 2,45;

2. 2,9;

3. 2,35;

4. 3,0;

5. 2,2.