2. Виды средних и методы их расчетов

Виды средних. Средние, которые применяются в статистике относятся к классу степенных средних. Общая формула степенной средней имеет такой вид:

Где, Х - степенная средняя;

Х - меняющиеся величина признака (вариации);

n -число вариантов;

- знак суммирования;

Изменение значения показателя степени (m) средней определяет вид средней величины.

Если m=1, получается средняя арифметическая ;

Если m=2, получается средняя квадратическая ;

Если m=3, получается средняя кубическая (практически не применяется).

Если m=-1, получается средняя гармоническая

Если m=o, получается средняя геометрическая , где

П. - знак переминания.

Из степенных средних в статистике наиболее часто применяется средняя арифметическая, реже средняя гармоническая. Средняя геометрическая применяется только при исчислении средних темпов динамики, а средняя квадратическая – только при исчислении показателей вариации.

Пример показывает, что разные виды средних при одном и том же исходном материале имеют неодинаковое значение:

Х Х2 3 9 6 36

В общем виде их соотношение определяется показателем степени средней:

Х_q >Х > Х_q > Х , т.е. чем больше показатель степени в формуле степенной средней, тем больше величина средней. Это правило называется правилом мажорантости средних.

Средняя только тогда будет верной обобщающей характеристикой совокупности по варьирующему признаку, когда при замене всех вариантов средней, общий объем варьирующего признака останется неизменным.

Так, средняя арифметическая применяется тогда, когда объем варьирующего признака образуется как сумма отдельных вариантов;

средняя квадратическая - когда объем варьирующего признака образуется как сумма квадратов отдельных вариантов;

средняя гармоническая - когда объем варьирующего признака образуется как сумма обратных значений отдельных вариант;

средняя геометрическая - когда объем варьирующего признака образуется как произведение отдельных вариантов.

1. Средняя арифметическая простая и взвешенная

Средняя арифметическая простая вычисляется по следующей формуле:

, (1)

где x- значение осредняемого признака;

n- число признаков

Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин x₁, x₂,…,x_n, -вычисляется по формуле:

где f₁,f₂,…f_n –веса (частоты повторения одинаковых признаков);

xf –сумма произведенной величины признаков на их частоты;

f –общая численность единиц совокупности.

При расчете средней арифметической взвешенной, во-первых:

-необходимо умножить варианты на веса (частоты);

-во-вторых, сложить эти произведения;

-в-третьих, сложить веса;

-в-четвертых, сумму произведенного варианта на веса разделить на сумму

весов.

Приемы вычисления средней арифметической.

1. Используют формулу средней арифметической или средней арифметической взвешенной.

2. Если имеются не отдельные значения варьирующего признака, а готовая сумма их и соответствующая ей численность совокупности, то сумму значений признака, выражающую его общий объем, делят на численность единиц совокупности.

3. Среднюю арифметическую вычисляют на основе вариационного ряда.

Вариационные ряды как мы знаем, бывают дискретными и интервальными. Для вычисления средней в дискретных рядах варианты нужно умножить на частоты и сумму производственной разделить на сумму частот.

Таблица.1

Группа семей по числу детей	Число семей	Число детей
1	2	3
Нет детей (0)	10	0
Один ребенок (1)	30	30
Два ребенка (2)	75	150
Три ребенка (3)	40	120
Итого:	155	300

Рассмотрим теперь вычисления средней арифметической на примере интервального вариационного ряда.

Таблица.2