- •Контрольні питання до курсу “Комбінаторні методи та алгоритми”
- •Класифікація оптимізаційних задач
- •Задачі лінійної, нелінійної, цілочисельної, булевої, стохастичної та комбінаторної оптимізації
- •Формулювання комбінаторних оптимізаційних задач
- •Типові приклади задач комбінаторного типу. Комбінаторні задачі в програмній інженерії (приклади, формулювання).
- •5. Класифікація комбінаторних оптимізаційних задач.
- •6. Задачі поліноміальних та неполіноміальних типів. Класи р та np. Приклади.
- •7. Критерії оптимізації.
- •8. Багатокритеріальні задачі.
- •9. Зона Парето.
- •10. Елементи теорії графів та гіперграфів
- •11. Характеристичні числа графів
- •12. Числа внутрішньої та зовнішньої стійкості
- •13. Хроматичне число
- •14. Планарність графів. Теорема Понтрягіна-Куратовського.
- •15. Проектування алгоритмів. Точність, обчислювальна та ємнісна складність. Проблема стопу.
- •16. Алгоритми пошуку найбільшого (найменшого елемента) списку. Обчислювальна та ємнісна складність алгоритму.
- •17. Алгоритми впорядкування списку. Обчислювальна та ємнісна складність алгоритму.
- •Характеристики алгоритмів сортування:
- •Алгоритм сортування вибіркою (Selection Sort)
- •Алгоритм сортування бульбашкою (Bubble Sort)
- •Алгоритм вставки або включення (Insertion Sort)
- •Алгоритм швидкого сортування (Quick Sort)
- •Алгоритм злиття (Merge Sort)
- •Алгоритм позиційного сортування (Radix Sort)
- •Блокове сортування або сортування комірками (Bucket Sort)
- •18. Алгоритми визначення мінімальних зв'язувальних дерев, їх обчислювальна та ємнісна складність. Алгоритм Прима
- •Алгоритм Краскала (Крускала)
- •19. Алгоритми визначення оптимальних шляхів в графах, їх обчислювальна та ємнісна складність. Жадібний алгоритм (задача комівояжера)
- •Алгоритм найближчого сусіда
- •Алгоритм Ліна-Кернігана
- •Алгоритм Дейкстри
- •Алгоритм:
- •Хвильовий алгоритм
- •Алгоритм:
- •Транспортні мережі. Алгоритми визначення найбільшого потоку.
- •Методи розв'язування задач дискретної оптимізації.
- •Метод гілок та границь. Переваги та недоліки.
- •Жадібні алгоритми. Переваги та недоліки.
- •Алгоритми найближчого сусіда. Переваги та недоліки.
- •Метод моделювання відпалу. Переваги та недоліки.
- •Генетичні та еволюційні методи. Переваги та недоліки.
- •39 Класифікація методів та алгоритмів для розв'язування задачі трасування, їх переваги та недоліки. Обчислювальна складність.
11. Характеристичні числа графів
Хроматичне число (див. питання 13)
Множина зовнішньої стійкості (див. питання 12)
Множина внутрішньої стійкості (див. питання 12)
Кліка – повний підграф графу (кожна вершина зв’язана з кожною).
Цикломатичне число. Нехай G (X) – неорієнтований граф, що має n вершин, m ребер і k компонент зв'язності. Цикломатичним числом графа G називається число µ(G) = m – n + k.
12. Числа внутрішньої та зовнішньої стійкості
Внутрішня стійка підмножина вершин графу – множина S X графу G(X), вершини S якої не мають суміжних ребер, тобто для будь-якого х S має місце: G(x) S = .
Максимальна внутрішня стійка підмножина вершин графу – така внутрішня стійка підмножина вершин графу, яка має максимальне число елементів (вершин). Число елементів цієї множини називається числом внутрішньої стійкості графа G.
Зовнішня стійка підмножина вершин графу – множина Т X графу G(X), в якій будь-яка вершина, що не належить Т з’єднана дугами з вершинами з Т (тобто множина, що включає такі вершини, що мають не суміжні інші вершини), тобто для будь-якого х Т має місце: G(x) Т .
Мінімальна зовнішня стійка підмножина вершин графу – така зовнішня стійка підмножина вершин графу, яка має мінімальне число елементів (вершин). Число елементів цієї множини називається числом зовнішньої стійкості графа G.
13. Хроматичне число
Нехай р – натуральне число. Граф G(X) називається р-хроматичним, якщо його вершини можна розфарбувати різними кольорами так, щоб ніякі дві суміжні вершини не були розфарбовані однаково. Найменше число р, при якому граф є р-хроматичним, називається хроматичним числом графа і позначається γ(G).
Якщо γ(G) = 2, то граф називається біхроматичним. Необхідною і достатньою умовою того, щоб граф був біхроматичним, є відсутність у ньому циклів непарної довжини.
Хроматичне число будь-якого планарного графу завжди рівне 4.
14. Планарність графів. Теорема Понтрягіна-Куратовського.
Кажуть, що граф G укладається на поверхні S, якщо його можна намалювати на цій поверхні так, що його ребра будуть перетинатися лише в кінцевих точках – вершинах. Граф називається планарним, якщо його можна укласти на площині. Зображення планарного графа на площині називають планарною укладкою. Для кожного простого планарного графа існує планарна укладка, в якій всі ребра графа будуть прямими лініями.
Якщо граф не вкладається на площині (поверхні нульового порядку), то його можна укласти на будь-якій іншій поверхні (більш високого порядку). Вкладання графа на площині рівносильне його вкладанню на сфері, оскільки сфера і площина відносяться до поверхні нульового порядку, що можна встановити стереографічною проекцією сфери на площину.
Теореми планароності:
Граф планарний тоді і тільки тоді, коли кожен його блок планарний.
Граф планарний тоді і тільки тоді, коли він не містить підграфів, гомеоморфного K5 або K3,3 (теорема Понтрягіна-Куратовського).
Граф планарний тоді і тільки тоді, коли у нього немає підграфов, які стягуються до K5 або K3,3 (теорема Вагнера).
Граф має двоїстий граф тоді і тільки тоді, коли він планарний.
Два графа називаються гомеоморфними, якщо їх можна отримати з одного графа за допомогою підрозбиття ребер (тобто включенням до ребра додаткових вершин: кажуть, що ребро e = (v1, v2) підрозбито введенням вершини v, яка не належить графу, якщо воно замінено в графі на пару ребер e1 = (v1, v) і e2 = (v, v2)).