Алгоритм Дейкстри

Знаходить найкоротший шлях від однієї вершини графа до всіх інших вершин. Класичний алгоритм Дейкстри працює тільки для графів без циклів від'ємної довжини.

Алгоритм:

Кожній вершині V зіставимо мітку - мінімальну відому відстань від цієї вершини до вершини а. Алгоритм працює покроково - на кожному кроці він « відвідує » одну вершину і намагається зменшувати мітки. Робота алгоритму завершується, коли всі вершини відвідані.

Ініціалізація. Мітка самої вершини a покладається рівною 0, мітки інших вершин - нескінченності. Це відображає те, що відстані від a до інших вершин поки невідомі. Всі вершини графа позначаються як невідвідані.

Крок алгоритму. Якщо всі вершини відвідані, алгоритм завершується. В іншому випадку, із ще не відвіданих вершин вибирається вершина u, що має мінімальну позначку. Ми розглядаємо всілякі маршрути, в яких u є передостаннім пунктом. Вершини, в які ведуть ребра з u, назвемо сусідами цієї вершини. Для кожного сусіда вершини u, крім позначених як "відвідані", розглянемо нову довжину шляху, що дорівнює сумі значень поточної мітки u і довжини ребра, що з'єднує u з цим сусідом. Якщо отримане значення довжини менше значення мітки сусіда, замінимо значення мітки отриманим значенням довжини. Розглянувши всіх сусідів, помітимо вершину u як відвідану і повторимо крок алгоритму.

Обчислювальна складність алгоритму: O(n²).

Ємнісна складність: залежить від структури представлення даних, мінімально може бути O(n*log n + m).

Хвильовий алгоритм

Це - алгоритм, що дозволяє знайти мінімальний шлях в графі з ребрами одиничної довжини. Заснований на алгоритмі пошуку в ширину. Застосовується для знаходження найкоротшого шляху в графі, в загальному випадку знаходить лише його довжину.

Алгоритм:

На двовимірній карті (матриці), що складається з «прохідних» і «непрохідних» комірок, позначена комірка старту і комірка фінішу. Мета алгоритму - прокласти найкоротший шлях від комірки старту до комірки фінішу, якщо це, звичайно, можливо. Від старту у всі напрями поширюється хвиля, причому кожна пройдена хвилею комірка позначається як «пройдена». Хвиля, у свою чергу, не може проходити через комірки помічені як «пройдені» або «непрохідні». Хвиля рухається, поки не досягне точки фінішу або поки не залишиться непройдених комірок. Якщо хвиля пройшла всі доступні комірки, але так і не досягла точки фінішу, значить, шлях від старту до фінішу прокласти неможливо. Після досягнення хвилею фінішу, прокладається шлях в зворотному напрямі (від фінішу до старту) і зберігається в масиві.

Обчислювальна складність: O(n²).

Ємнісна складність: залежить від розміру матриці заповнення, можливо – O(m*n).

20. Транспортні мережі. Алгоритми визначення найбільшого потоку.

Транспортної мережею називається кінцевий Зв'язний орграф G (V, E) без петель, кожній дузі якого поставлено у відповідність деяке невід'ємне число c (), зване пропускною здатністю дуги, і існує:

1) рівно одна вершина, у якому не заходить жодна дуга, звана джерелом або початком мережі ;

2) рівно... одна вершина, з якої не виходить жодної дуги; ця вершина називається стоком або кінцем мережі .

Потоком мережі називається неотрицательная функція f (1) така, що f (e) менше або дорівнює c (e). (Потік не може перевищувати пропускну здатність дуги.)

Дуга називається насиченою потоком f, якщо (Потік називається повним , якщо містить насичену дугу f (e) = c (e).)

Розрізом L мережі G (V, E) називається безліч насичених дуг, що відокремлюють джерело s від стоку t.

Задача про максимальний потік на мережі. Нехай задана транспортна мережа, що складається з безлічі вузлів J з номерами і безлічі дуг D, що з'єднують деякі з цих вузлів між собою. Передбачається, що мережа є симетричним графом, тобто якщо дуга (i, j) входить в мережу, то в неї входить і симетрична дуга (j, i), хоча реально такий дуги може і не бути. Кожній дузі поставлено у відповідність число d _ij, зване пропускною здатністю дуги. Величина d _ij визначає максимальну кількість продукції, яке може бути переведене по дузі (i, j) в одиницю часу. Вузол з номером Ø має необмежений запас продукції і називається джерелом, а вузол з номером n має необмежену потребу в еой продукції і називається стоком. В інших вузлах, які називаються проміжними, запас продукції або потребу в ній дорівнюють нулю. Необхідно знайти максимальну кількість продукції, що перевозиться з вузла з номером в вузол з номером n в одиницю часу, при цьому не порушуючи пропускні спроможності дуг мережі.

Алгоритм рішення задачі про максимальний потік заснований на теоремі Форда - Фалкерсона про максимальний потік і мінімальний розрізі. Для розгляду цієї теореми вводяться понятіяо прямого і зворотного дуги ланцюга. Під ланцюгом в даному випадку розуміється послідовність зчеплених дуг мережі без урахування їх оріетаціі. Дугу, прінажлежащую деякі ланцюга, називають прямою, якщо її напрямок співпадає з напрямком обходу вузлів цієї мети, і зворотного - в іншому випадку наприклад, ланцюг μ = (3,5,4,7,6,8) на рис.1, зв'язує вузол 3 з вершиною 8, містить три прямі дуги (3,5), (4,7), (6,8) і дві зворотні (4,5), (6,7). Теорема. В будь-якій мережі максимальна величина потоку з джерела в стік дорівнює пропускній здатності мінімального розрізу мережі.

Алгоритм Форда знаходження максимального потоку на мережі. Вихідні дані заносяться в таблицю розмірності (n +1) × (n +1). Якщо дуга , То у відповідній клітині таблиці записується значення d _ij. Якщо зворотна дуга , То у відповідній клітині записується значення d _ji, якщо дуга , То в клітці (j, i) записується Ø. Якщо дуги , , То відповідні клітини залишаються порожніми. Отже, заповненими будуть тільки клітини, симетричні відносно головної діагоналі.

Кожен крок алгоритму Форда складається з трьох дій. 1.Находітся шлях по таблиці з вузла-джерела Ø у вузол-стік n з пропускною спроможністю більше 0. Для цього стовпець, відповідний вузлу-витоку, відзначається знаком *. Далі відшукуються в рядку з номером 0 елементи d _ij> 0 і стовпці, в яких вони знаходяться, відзначаються зверху номером переглядається рядки (цифрою 0). В результаті виявляться виділеними всі дуги (0, j) c позитивними пропускними здатностями. Ці дуги можуть служити першими дугами шляху з витоку в стік. Далі проглядаються ті рядки, номери яких співпадають з номерами зазначених стовпців. У кожній такій рядку i відшукуються елементи d _ij> 0, що знаходяться в непозначених стовпцях, і ці стовпці відзначаються номером переглядається рядки. Таким чином, виявляться виділеними дуги, які можуть служити другими дугами шляхів з витоку в стік. Аналогічний перегляд рядків продовжується до тих пір, поки: а) або не буде позначений стовпець з номером n (сток) що означає виділення шляху з пропускною спроможністю більше нуля з витоку в стік, б) або не можна позначати нові стовпці (у переглядаються рядках не виявиться позитивних елементів), при цьому стовпець з номером n також залишиться не відміченим. В останньому випадку відсутня шлях з джерела в стік, що проходить по дугам з позитивною пропускною здатністю. У разі "а" шуканий шлях μ з джерела в стік знаходиться використовуючи позначки стовпців. Нехай останній стовпець n позначений номером k, тоді дуга (k, n) остання ланка шуканого шляху. Далі проглядається стовпець з номером k, нехай відмітка цього стовпця l. Тоді дуга (l, k) передостаннє ланка шуканого шляху і т.д.Етот процес продовжується до тих пір, поки не знайдеться відмітка *, тобто відмітка витоку Ø. Нехай ця позначка буде цифра m. Таким чином шлях від витоку до стоку буде складатися з дуг μ = ((Ø, m),..., (l, k), (k, n)). (5) 2.Клеткі, відповідні дугам цього шляху, відзначаються знаком (-), а симетричні їм клітини, тобто відповідні зворотним дугам - знаком (+). По знайденому шляху (5) можна пропустити максимально можливий потік, величина якого дорівнює Θ = min { d _ij ^-}. Ця величина Θ віднімається від всіх пропускних спроможностей клітин, відмічених знаком (-) та додається до пропускним здібностям клітин, відмічених знаком (+). У результаті виходить нова таблиця, в якій записані невикористані пропускні спроможності дуг після пропускання максимального потоку по шляху (5). За новою таблицею знову відшукується, вже інший, шлях від витоку до стоку, що складається з дуг з невикористаними пропускними здатностями. Якщо такий шлях існує, то по цьому шляху пропускається максимально можливий потік з витоку в стік. Після цього коригується таблиця аналогічно як на етапі 1. Це процес продовжується до тих пір, поки не буде мати місце випадок б). 3.Пусть є випадок б), тобто коли не існує шляху з витоку в стік, що складається з дуг з невикористаними пропускними здатностями. Це означає, що знайдені всі можливі шляхи перевезення продукції і завдання вирішене. Для визначення максимального потоку на мережі V ^* в останній таблиці виділяються зазначені стовпці, номери яких утворюють безліч R ^*, причому витік ^*. У результаті виходить мінімальний розріз (R ^{*, *)} І по теоремі Форда-Фалкерсона Для знаходження значень потоків по дугах x _ij ^*, утворюючих потік V ^* з елементів першої таблиці віднімаються відповідні елементи останньої таблиці. Якщо в клітці виходить ненегативна величина, то вона полишиться якщо - негативна, то в клітці записується . Значення заповнених клітин будуть відповідати потокам по дугам x _ij ^*. Причому

20. Розріз з мінімальною пропускною спроможністю. Обчислювальна та ємнісна складність алгоритму.