21.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

2. 

22.Формула Тейлора с остаточным членом в Пеано.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Рассмотрим произвольный многочлен степени : .

Где - постоянные числа, коэффициенты многочлена.

Найдем последовательные производные и вычислим :

,

,

Т.е. , ( ), где мы считаем, что , .

Тогда получим многочлен Тейлора:

Если надо представить многочлен вида: . Где - любое фиксированное число. Проделав аналогичную процедуру получим:

- формула Тейлора для многочлена по степеням .

Любую функцию можно представить в виде многочлена: . Где - многочлен Тейлора, а - остаточный член. Т.е.: , если мало, то .

Остаточный член в форме Лагранжа: , .

Замечание: остаточный член мал, как правило, можно пренебречь по сравнению с предыдущим слагаемым.

Рассмотрим и , следовательно , называется б/м более высокого порядка чем , т.е. - остаточный член в форме Пеано.

Замечание: если взять минимальное число членов формулы Тейлора, то получатся формулы асимптотического разложения.

,

Формула Тейлора даёт более точное разложение:

23.Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.

Представление некоторых функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

Рассмотрим частный случай (Формула Маклорена): .

1) ,

,

.

2) ,

,

,

,

,

.

3) ,

,

,

,

,

.

4) ,

,

,

,

,

или .

5) ,

,

,

,

24.Необходимое и достаточное условие монотонности функции. Возрастание и убывание функции в точке и на отрезке. Условие возрастания (убывания) в точке.

Теорема (критерий возрастания и убывания функции на интервале)

Для того чтобы дифференцируемая функция  на интервале   была возрастающая, необходимо и достаточно, чтобы   была неотрицательна для любого значения   из интервала   . Доказательство

Необходимость

• Дано:   возрастает на интервале  .

• Требуется доказать: .

Пусть   произвольная точка на интервале   , пусть  , тогда в силу монотонного возрастания функфии   для любого значения   из интервала , ,

 

По свойству сохранения знака предела:

а это и есть .

Достаточность

• Дано:  .

• Требуется доказать:   возрастает на интервале .

Пусть  для любого значения   из интервала   . Выберем произвольные точки   и   , принадлежащие интервалу   , и применим к функции   на формулу Лагранжа о конечных приращениях:  Из того что  Доказали нестрогое возрастание.

Теорема (достаточное условие строгой монотонности)

1. Если для любых значений   из   ,то   строго возрастает на  .

2. Если для любых значений   из   ,то   строго убывает на  .

Доказательство

Пусть  , применим формулу конечных приращений Лагранжа:   так как   и  , то  . Пусть  , применим формулу конечных приращений Лагранжа:   так как   и  , то  .

Пример

Исследовать функцию   на возрастание и убывание.

Решение

Функция   имеет производную   в любой точке интервала  .Для определения промежутков возрастания и убывания функции решаем неравенства:   и  Точки, в которых производная равна нулю, то есть   и  , разобьютчисловую прямую на три интервала. Получаем:

 возрастает на отрезках   убывает на отрезке  . Для проверки построим график этой функции.

Ответ:

 возрастает на отрезках   и  .  убывает на отрезке  . Возрастание и убывание функции, функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х', а £ х < х' £ bвыполняется неравенство f (x) £ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f (x'). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х² (рис., а) строго возрастает на отрезке [0,1], а

  

(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x)­, а убывающие f (x)¯. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [а, b], необходимо и достаточно, чтобы её производная f'(x) была неотрицательной на [а, b].

  Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x₀, если найдётся такой интервал (a, b), содержащий точку x₀, что для любой точки х из (a, b), х> x₀, выполняется неравенство f (x₀)£ f (x), и для любой точки х из (a, b), х< x₀, выполняется неравенство f (x) £ f(x₀). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x₀. Еслиf'(x₀) > 0, то функция f (x) строго возрастает в точке x₀. Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.