17.Производные и дифференциалы высшего порядка. Инвариантность формы первого дифференциала.

18.Теорема Ролля. Её геометрический смысл.

Теорема Ролля. Её геометрический смысл.Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке и значение функции на концах отрезка совпадает, т.е. , тогда существует хотя бы одна точка , т.ч. .

Доказательство. 1) Пусть наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке совпадают, т.е. и функция постоянна тогда производная . 2) Пусть функция непостоянна, тогда она достигает на интервале наибольшего и наименьшего значения. Причем функция не может достигать и на концах отрезка, т.к. и функция была бы постоянна. Значит, внутри интервала есть точка экстремума , .

Геометрический смысл. Если все условия теоремы выполнены, то на графике функции существует точка , через которую проходит касательная к графику функции, параллельно оси x

19.Теорема Коши (с док-вом). Теорема Лагранжа (без док-ва). Геометрический смысл.

Теорема Коши: Пусть функция и непрерывны на отрезке , дифференцируемы хотя бы на отрезке , , тогда существует точка , т.е.

: Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке , тогда существует точка , т.ч. .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию непрерывную на отрезке , дифференцируемую хотя бы на отрезке : . Тогда , а , т.е. выполнены все условия теоремы Ролля и существует , т.ч. . Следовательно, , .

Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что

f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) .

(1)

 Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

Из теоремы Лагранжа следует формула конечных приращений: .

Геометрический смысл. - угла наклона секущей (хорды), стягивающей точки и графика . - угла наклона касательной к графику функции , через точку касания . Если все условия теоремы Лагранжа выполнены, то касательная проходящая через точку , параллельна секущей (хорде), точки и графика .

20.Правило Лопиталя.

1. Правило Лопиталя.

Правило Лопиталя для вычисления пределов.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки а. Пусть и в указанной окрестности. Тогда, если существует , то существует и имеет место равенство = .

Доказательство. Доопределим функции f(x) и g(x) при х=а: f(a)=0, g(a)=0. Тогда эти функции станут непрерывными в окрестности точки а.

Рассмотрим отрезок [а;х], если x>a и отрезок [x;a], если x<a, причём х принадлежит окрестности, о которой говориться в условии теоремы.

Для функций f(x) и g(x) на указанных отрезках выполнены условия теоремы Коши. Поэтому можно записать причём . Поэтому, если , то и . Так как по условию теоремы существует , то существует и и эти пределы равны. Стало быть = = .