13.Дифференциал функции. И его геометрический смысл.

Дифференциалом функции называют главную часть приращения в точке х, соответствующим приращению аргумента х. Дифференциал dy=Ax=f’(x)x или dy=f’(x)dx.

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x₀,f(x₀)) при изменении x₀ на величину x

14.Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование.

Производные и дифференциалы высших порядков.

I. Производной 2-го порядка от функции называется производная от ее первой производной: . Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной порядка n-1: .

II. Пусть функция дифференцируема, тогда приращение функции , следовательно - дифференциал I-го порядка.

Рассмотрим 1-й случай, когда x – независимая переменная. Тогда - число. Предполагая, что функция дифференцируема дважды в т. x, найдем дифференциал от дифференциала I-го порядка при : , - полученное выражение при называется дифференциалом II-го порядка. Аналогично: , .

Рассмотрим 2-й случай, когда , а - соответственно сложная функция. Тогда - дифференциал I-го порядка, а - функция, . Тогда: , , , . Дифференциалы 2-го (и более высокого порядка) не обладают инвариантностью формы (т.е. меняют вид в зависимости от x).

15.Теорема о существовании обратной функции. Производная обратной функции

(док-во). Пример дифференцирования обратной функции.

Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

I. Если (D – область определения) поставлен в соответствие , говорят, задана функция . Если это взаимно однозначно, то можно рассмотреть функцию , которая ставит в соответствие x.

Теорема: Пусть и взаимно обратные функции, тогда или . Доказательство. Пусть обе функции дифференцируемы в некоторой точке. Тогда, , т.к. обе функции дифференцируемы непрерывны, т.е. при . Тогда, .

а) , , тогда ,

б) , , ,

в) , , ,

г) , , .

16.Таблица производных. Вывод производной одной из функций.

Таблица производных простейших элементарных функций

Легко получить следующую таблицу производных основных элементарных функций, используя определение производной. Для более подробного изучения данного материала рекомендуем использовать, например, "Математический анализ" ч.1 В.А. Ильина, В.А. Садовничего, Бл.Х. Сендова.

1. (u^a(x))' = a u^a-1(x)u'(x), в частности,

(1/u(x))' = -u'(x)/u2(x), ( )' = u'(x)/2 ;

2. (log_au(x))' = (u'(x)log_ae)/u(x) при 0<a№1, u(x)>0, в частности, (ln u(x))' = u'(x)/u(x);

3. (a^u(x))' = a^u(x)ln a u'(x) при 0<a№1, в частности, (e^u(x))' = u'(x)e^u(x);

4. (sin u(x))' = cos u(x)u'(x);

5. (cos u(x))' = -sin u(x)u'(x);

6. (tg u(x))' = u'(x)/cos²u(x) x№ p/2+p n, n=0,+-1,...;

7. (ctg u(x))' = -u'(x)/sin²u(x) x№ p n, n=0,+-1,...;

8. (arcsin u(x))' = u'(x)/ , -1<u(x)<1;

9. (arccos u(x))' = -u'(x)/ , -1<u(x)<1;

10. (arctg u(x))' = u'(x)/(1+u²(x));

11. (arcctg u(x))' = -u'(x)/(1+u²(x)).

Введем гиперболические функции:

sh x = (1/2)(e^x-e^-x)- гиперболический синус;

ch x = (1/2)(e^x+e^x)- гиперболический косинус;

th x = sh x/ch x -гиперболический тангенс;

cth x = ch x/sh x - гиперболический котангенс.

Из определения гиперболических функций элементарно вытекают следующие формулы для нахождения их производных.

1. (sh x)' = ch x;

2. (ch x)' = sh x;

3. (th x)' = 1/ch² x;

4. (cth x)' = -1/sh² x.

Пример 7. Найти y', если

1. y(x) = x³arcsin x.

2. y(x) = ln sin (x²+1).

y' = (2xcos(x2+1))/sin(x2+1) = 2x ctg(x2+1)

Замечание. Производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.