9.Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Замечание. Функция, непрерывная на отрезке [a,b] может быть разрывной в точках a и b  Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) =M для всех x О [a, b]

Наибольшее значение M обозначается символом max_{x О [a, b]} f(x), а наименьшее значение m — символом min_{x О [a, b]} f(x).

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX

Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b)

10Производная. Её геометрический и механический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

П роизводной функции f(x) в точке x называется предел её приращения в этой точке к соответствующему приращению аргумента , когда стремиться к нулю (при условии, что этот предел существует). Для обозначения производной используют символы Определение записывается и таким образом .

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀. KN=y, MK=x

tg угла KMN=y/x

вычислим предел левой и правой части:

limtg=lim(y/x) x0

tg₀=y`

₀

При x0 секущая MNзанять положение касательной в точке M(tg₀=y`, ₀).

Касательной Т к кривой y=f(x), проходящей через точку (x;f(x)), называется предельное положение секущей при x0. Уравнение касательной в точке M(x₀,f(x₀)) записывается в виде .

Нормалью к графику функции в точке M(x₀,f(x₀)) назовём прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную касательной, проходящей через эту же точку.

11Правила дифференцирования.

12Понятие дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости (док-во).

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х, если её приращение в этой точке может быть представлено в виде , где величина А не зависит от x.

Теорема. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Тогда величина А из равна производной: A=f’(x).

Достаточность. Из существования производной выводим дифференцируемость

Необходимость. Из дифференцируемости функции выводим существование производной .