5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Бесконечно малая

Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел  — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .

Бесконечно большая

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

6. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции. Свойства эквивалентных функций. Условие эквивалентности.

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→х_о, т. е.

 и 

1. Если  =А 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если,  =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.

3. Если  =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если   не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х →±∞, х →х₀±0.

Эквивалентность

Б.м. функции   и   называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при  , если 

Обозначают:   при  .

7.Теорема о замене функций на эквивалентные при вычислении пределов.

8.Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности сложной функции. Точки разрыва. Их классификация.

Непрерывность функции в точке Функция   называется непрерывной в точке  , если:

функция   определена в точке   и ее окрестности;

существует конечный предел функции   в точке  ;

это предел равен значению функции в точке  , т.е. 

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x₀) точки x₀ (включая саму точку x₀).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует lim_x → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:

lim x → x0

f(x) = f(x0),

(1)

т.е.

 O( f(x0) )      O(x0) :     x  O(x0)  f(x)  O( f(x0) )

Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:

lim x → x0

lim x → x0  f(x) = f (  x ),

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пусть Δx = x − x₀ — приращение аргумента, Δy = f(x) − f(x₀ ) — соответствующее приращение функции. Непрерывность сложной функции.

Введём понятие сложной функции. Пусть функции   и   определены на множестве X и Y соответственно, причём множество значений функции   содержится в области определения функции f Тогда функцию, принимающую при каждом  значение  , называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций   и f и обозначают  .

Теорема. Если функция z=f(y) непрерывна в точке  , а функция   непрерывна в точке   , причём   , то в некоторой окрестности точки   определена сложная функция  , и эта функция непрерывна в точке   .

○ Пусть задано произвольное число  . В силу непрерывности функции f в точке  существует число   такое, что   и

 (2)

где  .

В силу непрерывности функции   в точке   для найденного в (2) числа 

можно указать число   такое, что

 (2')

Из условий (2) и (2') следует, что на множестве   определена сложная функция , причём

 ,

где  , т.е.

.

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция   непрерывна в точке  .● Точки разрыва и их классификация.

 

            Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если  функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

            Если односторонний предел (см. выше)  , то функция называется непрерывной справа.

 

 

 

 

 

 

                                                                                 х₀

Если односторонний предел (см. выше)  , то функция называется непрерывной слева.

 

 

 

 

                                                                     х₀

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

  Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

 

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

 Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

 Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х₀.

Пример. Функция f(x) =   имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.