4.11. ; 4.12. ;

4.13. ; 4.14. ;

4.15. ; 4.16. ;

4.17. ; 4.18. ;

4.19. ; 4.20. .

Ч а с т и н а 5 інтегральне числення

1. Невизначений інтеграл

Відшукання функції за відомою її похідною становить зміст дії інтегрування, а функція називається первісною для функції .

Якщо є первісною для , то і , де С – довільна стала, також є первісною для , тому що .

Загальний вираз сукупності всіх первісних від функції називається невизначеним інтегралом, тобто

, якщо .

Г еометричне тлумачення сукупності всіх первісних функцій від , тобто геометричне подання невизначеного інтеграла неведене на рис. 4, на якому видно, що первісна функція до є сукупністю функцій, в якій кожна функція зміщена відносно попередньої на деяку сталу.

Як це випливає з означення невизначеного інтеграла, слід стверджувати, що дії диференціювання функцій та інтегрування функцій є взаємно оберненими. Це означає, що кожний результат інтегрування (первісна функція) може бути підтвердженим: якщо похідна від первісної функції збігається з підінтегральною функцією , то результат інтегрування є вірним.

Невизначений інтеграл має такі властивості.

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює його підінтегральній функції, тобто

,

а диференціал невизначеного інтеграла дорівнює його підінтегральному виразу, тобто

.

2. Сталий множник виноситься за знак (символ) інтеграла, тобто

.

3. Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів від її доданків,

тобто

,

або в загальному випадку

.

При практичній необхідності розрахунку невизначених інтегралів функцій рекомендується використовувати відомі вирази невизначених інтегралів від елементарних функцій, а оскільки похідна первісної функції є підінтегральною функцією невизначеного інтеграла, то подання первісних функцій невизначених інтегралів елементарних функцій з точки зору їх знання зручно здійснювати поруч із визначеннями їх похідних, що і наведено в табл. 3.

Таблиця 3

Первісні функції невизначених інтегралів та їх похідні

№ з/п	Невизначені інтеграли елементарних функцій	Похідні первісних функцій
1	2	3
1
2
3

Продовження табл. 3

1	2	3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Продовження табл. 3

1	2	3
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

Закінчення табл. 3

1	2	3
29
30
31
32

Необхідно відзначити, що визначення інтегралів не залежить від того, за якою змінною вони розглядаються. Як змінну можна розглядати і будь-яку функцію. Так, наприклад, в інтегралі як змінна виступає функція , його визначення слід розглядати у відповідності позиції 3 табл. 3, тобто .

У подальшому пропонуються відомі способи визначення невизначених інтегралів та подаються методичні рекомендації щодо їх застосування.