Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат 0xyz может быть задана уравнением одного из следующих видов:
- общее уравнение
плоскости;
- уравнение
плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно нормальному вектору
;
- уравнение
плоскости в отрезках, где а,
b,
с
- величины направленных отрезков,
отсекаемых плоскостью на координатных
осях 0х,
0у,
0z
соответственно.Пример
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
и
параллельно вектору
.Решение
Задача имеет единственное решение, т.к. векторы
и
неколлинеарны. В качестве нормального
вектора
можно взять
.Уравнение плоскости имеет вид
.Его можно преобразовать к виду
.Прямая в пространстве может быть задана:
1) общими уравнениями
где коэффициенты
,
,
не пропорциональны коэффициентам
,
,
,
что равносильно заданию прямой как
линии пересечения плоскостей;2) каноническими уравнениями
,что равносильно описанию прямой как линии пересечения трех плоскостей, проектирующих эту прямую на координатные плоскости. Здесь
- направляющий вектор прямой, а точка
- некоторая точка, принадлежащая прямой;3) параметрическими уравнениями
Параметрические уравнения получаются из канонических при выражении текущих координат x, y, z через параметр t;
4) уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
и
.Пример
Прямая задана общими уравнениями
Написать ее канонические и параметрические уравнения.
Решение
В качестве направляющего вектора прямой может быть взят вектор
,
где
,
- направляющие векторы плоскостей
,чтобы найти координаты точки
придаем значение
и подставляем в уравнения для плоскостей
Решаем систему:
; 
.Таким образом,
.Канонические уравнения имеют вид:
.Выражая x, y, z через t, получаем параметрические уравнения прямой:
Задание № 8
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
и
,
параллельно вектору
:1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
.Задание № 9
Написать канонические и параметрические уравнения прямой заданной общими уравнениями
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
