Rem! В начале – назначение курса, цель и задачи, структура, что должны знать и уметь, прочие требования. Литература. Что будет требоваться по самостоятельной работе (часы предусмотренные программой)

Лекция 1. Системы управления мехатронными объектами.

Введение.

В настоящее время трудно указать область деятельности человека, где в какой либо форме не использовались системы управления на базе процессоров или ЭВМ. Переработка сырья, производство энергии, медицина, авиация, транспорт и многие другие сферы широко используют системы автоматического управления различными процессами.

Qw? Вопрос – привести примеры простейших сист упр без обр св и с ними

Qw? – привести примеры более сложных и сложных сист упр

Под понятием процесс следует понимать последовательную смену состояний объектов физического мира. Любой физический процесс характеризуется наличием материальных компонент, энергии, информации. Это может быть движение, изменение свойств и характеристик предметов, тепловые и химические превращения и т.д. Примеры:

• процессы при работе отопительного котла – химические (горение), тепловые (теплообмен и теплопередача), фазовые (жидкость - пар) и т.п. ;

• перемещение манипулятора – механические (изменение усилий и моментов), кинематические (скорости и ускорения), электромагнитные (Эл. двигатели), информационные (датчики – обработка информации – формирование управлений), и т.п. ;

• полет самолета – аэродинамические, механические, тепловые и т.п..

Большая часть этих процессов взаимосвязана, а так же определяется параметрами управления и внешними воздействиями.

Объект управления и система управления.

В том случае, когда мы говорим об управлении, необходимо представлять возможное многообразие построения комплекса объект управления - система управления. В простейшем случае имеем

Объектом управления обычно является какое либо исполнительное устройство (двигатель, соленоид, и т.п.), при этом его выход и есть управляемый параметр, либо воздействует на управляемый параметр процесса. Может иметь место и косвенное воздействие исполнительного устройства на управляемый параметр (например, золотник горелки котла изменяет температуру крекинга нефти, при этом регулируемым параметром процесса крекинга является объемный выход готового продукта). В зависимости от поставленной задачи управления, система управления формирует требуемое значение или закон изменения выходного параметра Y(t). Для того что бы управляемый параметр действительно получил это значение необходимо на вход объекта управления подать соответствующее управление U(t), что выполняется регулятором. \пояснить назначение регулятора (в «статике» это может быть линейное звено, в динамике – более сложные задачи – на базе «знаний» о поведении объекта)\.

Если управляемых параметров или управляемых объектов более одного, то и общая структура системы становится более сложной и многовариантной.

Принципы управления (регулирования):

Принцип разомкнутого регулирования. \Пояснить работу\



Yф U Y

Yф - желаемый алгоритм функционирования

Иначе говоря, принцип планового управления. Работает достаточно успешно при наличии двух условий:

• достаточно информации о свойствах объекта и неизменности этих свойств в процессе работы;

• незначительность или полное отсутствие помех.

Принцип компенсации (управления по возмущению). \Пояснить работу\



y_ф u y

Предложен Понселе (1829 г.). Принимаются меры к изучению или вычислению возмущающего воздействия . Регулятор Р₂ компенсирует помехи. Именно поэтому качество работы этой системы выше качества системы работающей по принципу разомкнутого управления.

Главный недостаток этого принципа - необходимость измерения или априорного задания возмущения (например, его математической модели).

t



Закон изменения помехи должен быть известен, или помеха должна измеряться, для этого должна быть известна математическая модель помехи или установлен датчик для измерения.

Принцип замкнутого управления (управления с обратной связью, управления по отклонению) \Пояснить работу\

Предложен Чикалевым (1874 г.)

Этот принцип является наиболее общим, но и наиболее дорогим.

канал обратной связи

Канал обратной связи является наиболее уязвимым местом. При нарушении его работы система может стать полностью неработоспособной.

Этот общий принцип управления чаще всего реализуется в виде управления по отклонению, то есть с использованием сигнала ошибки e(t).

e(t)=y_ф(t)-y(t)

канал обратной связи

Если задача заключается в управлении объектом при наличии возмущающих воздействий, неточности задания математической модели объекта, погрешности измерений и повышенных требованиях к точности, то принцип управления по отклонению является наиболее совершенным.

• Также возможно совместное (комбинированное) использование принципов управления, например, принципа компенсации возмущения и принципа ОС.

Ниже на рисунке приведён пример такой системы, где имеется и контур отрицательной обратной связи, и цепи компенсации погрешностей и возмущений.

Это- модель электромеханической системы, содержащей привод, объект, датчики, регулятор и формирователь (задатчик) желаемого поведения выходного сигнала Y(t). В этой модели САУ считается, что помехи действует аддитивно, т.е. прибавляются к сигналу. Очевидно, что использован комбинированный принцип управления.

\Пояснить работу\

К подобному виду часто можно привести типовые САУ, причём не только электромеханические, но и любой другой природы.

Основные типы систем управления по характеру формируемого задающего воздействия

Задающее управление Yзад(t) определяет желаемое поведение системы, желаемый алгоритм функционирования. От вида и способа формирования этого сигнала в значительной степени зависит способ построения регулятора.

В зависимости от вида y^зад(t) принято классифицировать системы управления по

задачам управления:

• Системы стабилизации, отличаются тем, что y^зад = const.

• Системы программного управления. y^зад (t) - является функцией времени и заранее известна.

• Системы следящие. y^зад (t) - заранее неизвестно.

Отметим, что эти задачи являются усложняющимися. В самом деле, всегда можно считать, что y^зад = const является частным случаем известной функции. Также очевидно, что управлять системой с заранее неизвестным y^зад (t) сложнее, чем системой с заранее известным законом функционирования.

Рассмотреть пример системы стабилизации (чего)

Рассмотреть пример системы программного управления (чем)

Рассмотреть пример системы следящей (за чем)

Классификация САУ.

Цель любой классификации технических систем – обеспечить возможность анализа некоторого разнообразия с целью последующего обоснованного выбора либо синтеза системы, соответствующей поставленным задачам.

Методов исследования систем управления известно много, и имеется следующая их классификация, учитывающая способы математического описания и характер протекания процессов в системе.

Системы Управления

По виду уравнений системы управления.

По характеру сигналов.

По характеру процессов в системе.

По критерию качества.

Стационарные Нестационарные

Линейные Нелинейные

Непрерывные Дискретные

Цифровые Импульсные

Детерминированные Стохастические

С заданным качеством Оптимальные Адаптивные

добавить - интеллектуальные

Мехатронные объекты, имеющие механическую, сенсорную, приводную подсистему – являются одними из наиболее ярких представителей для реализации сложных законов управления.

Системы управления применимы в тех случаях, когда объект (процесс) обладает управляемостью, т.е. существует возможность изменения его некоторых параметров внешними воздействиями. Каким бы сложным или простым ни был бы управляемый процесс, системе управления необходима информация о его параметрах. Такая информация может быть получена лишь для процессов обладающих свойством наблюдаемости. Кроме этого, всегда существуют внешние факторы, влияющие на процесс, которыми невозможно управлять. Эти факторы являются возмущениями, отклоняющими процесс от требуемого режима.

\ Подробнее на подчеркнутом \

Формально, назначение любой системы управления – формирование управляющих воздействий на основе имеющейся информации о состоянии объекта/процесса и внешней среды. Целью управления может быть решение двух обобщенных задач – поддержания некоторых параметров в определенных диапазонах и регулирование значений выходных переменных по требуемому закону. В каждой из этих задач управляющей системе требуется сформировать выходное воздействие, реализация которого компенсирует образовавшуюся ошибку управления.

\Подробнее на подчеркнутом\

Для расчета выходных воздействий необходимо знать, как изменятся параметру объекта/процесса при определенном изменении управляемого параметра. Это означает, что разработка систем управления подразумевает построение и использование адекватных математических моделей.

Лекция 2

Анализ управляемых процессов с помощью моделей. Методы задания программных движений.

Описание системы – ее модель – содержит знания о физическом (техническом) процессе.

Модель процесса необходима для того, чтобы управляющая система могла выдавать соответствующие команды на основе информации о состоянии процесса. Модель позволяет оценить, как техническая система будет реагировать на конкретное управляющее воздействие или внешнее возмущение, и какое управляющее воздействие необходимо, чтобы достичь требуемого состояния системы.

Модели так же играют важную роль в технологии измерений и обработке сигналов.

\пояснить – если при измерениях мы знаем вид закона изменения сигнала- то можем качественнее бороться с влиянием помех\

Qw? Вопрос – привести пример модели (физические модели – «масштабные копии» для аэродинамич ислед и пр ; математические модели – системы уравнений, описываюших «поведение» реального объекта или процесса;). Математич модель может быть реализована в виде программы для ЭВМ и решена с ее помощью (численное решение), либо реализована в аналоговом виде посредством соответствующей электронной схемы на базе операционных усилителей. Привести для студентов пример решения диф Ур на ОУ. (например масса на пружине + сила трения)

Модели необходимы не всегда – например, для простых задач типа циклового управления. Другие задачи управления являются более сложными, и для их решения необходима тщательно разработанная количественная модель. Например, точная модель динамики и траекторий движения обязательна для системы управления роботом. Дискретная модель системы – основа для реализации процессорного управления.

Существуют два основных способа разработки моделей – на основе физических принципов функционирования объекта и на основе экспериментальных данных (результатов измерений реального поведения объекта), представленных уравнениями состояния в виде отношения вход/выход.

Далеко не все параметры управляемого объекта (процесса) могут быть измерены. В связи с этим на этапе разработки системы управления необходимо решать задачу о достаточности имеющейся измерительной информации для достижения целей управления. Данная задача может быть решена, если управляемый объект (процесс) обладает свойством наблюдаемости.

Наблюдаемость это оценка, дает ли имеющийся набор измерительной информации возможность адекватно, для решаемой задачи, определить состояние объекта.

Другая характеристика объекта (процесса) – управляемость, показывает, достаточно ли параметров у управляемой системы, на которые можно оказывать воздействия, для управления процессом нужным образом.

Моделирование процессов всегда связано с некоторыми неопределенностями. Иногда эти неопределенности могут быть описаны, в других случаях производится представление неопределенностей с использованием статистических методов или нечеткой логики.

\рассмотреть примеры неопределенностей – невозможность точного расчета коефф момента и ЭДС ДПТ, которые нужны для построения модели двигателя, но они могут быть определены экспериментально. Но для модели крекинга нефти «точная» модель разработана быть не может , т.к. переменен состав нефти, ее физико-химические св-ва и пр.\

Рассмотрим некоторые методы анализа и математического описания физических систем, т.е. объектов и процессов, которыми необходимо управлять.

Модели, применяемые в управлении.

Модель процесса – основа управления. Любая стратегия управления базируется на понимании того, как физический процесс реагирует на входной управляющий сигнал.

Поэтому необходимо уметь анализировать и моделировать динамику системы является основой успешного управления.

Существует достаточно много способов описания систем с помощью моделей. Конкретный выбор зависит от имеющейся информации о характере системы, возможности получать данные о ней в процессе управления, и, что важнее всего, от цели моделирования. В том случае, когда целью моделирования не является глубокое проникновение в суть системы, модель в инженерном смысле считается адекватной, если соответствующие законы управления работают предсказуемым образом.

Прикладное управление ориентировано на динамические системы, состояние которых можно смоделировать и которыми можно управлять с помощью соответствующих сигналов. При этом эффект от входного воздействия проявляется (либо обнаруживается) не сразу, а лишь спустя некоторое время.

Часто употребляемые способы моделирования динамических систем следующие:

• Непрерывное во времени описание (continuous time description). Система описывается линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями баланса массы, энергии, сил или моментов. Во многих случаях нелинейные уравнения могут быть линеаризованы.

• Дискретное во времени описание (sampled time description). Физические свойства описываются линейными или нелинейными разностными уравнениями. Такой подход означает, что информация о системе доступна только в определенные, дискретные, моменты времени. Этот тип описания в действительности почти неизбежен при цифровом управлении потому, что компьютеры, базирующиеся на архитектуре фон Неймана (von Neumann), выполняют инструкции последовательно. Определение интервала дискретизации, т. е. периодичности обновления или пересчета данных, является наиболее важным элементом такого моделирования.

• Модели систем, основанных на дискретных событиях (discrete events model) или на последовательности событий (sequencing system). При таком описании входные и выходные величины системы дискретны во времени и обычно являются бинарными сигналами типа "включено/выключено". Многие системы управления последовательностью можно описать как системы очередей и моделировать так называемыми марковскими цепями или марковскими процессами.

• Модели систем с неопределенностями (system with uncertainties). Как на сами управляемые системы, так и на измерения часто влияют нежелательные шумы и возмущения. В одних случаях возмущения и неполные знания о техническом процессе можно интерпретировать статистически. В других – факторы неопределенности вместо количественных характеристик можно описывать лингвистическими и логическими выражениями. Пример такого описания – правила экспертных систем "если-то-иначе". Еще одно средство описания неопределенностей – так называемая нечеткая (fuzzy) алгебра.

Неверным является предположение, что процесс можно исчерпывающе описать только одной моделью.

Структура и сложность модели должны соответствовать цели моделирования, поэтому выбор модели процесса зависит от того, как она будет использоваться. Наиболее приемлемой является простейшая из возможных моделей, которая обеспечивает управление, удовлетворяющее заданному критерию качества. Управляемые системы и процессы обычно рассматривают в терминах входных и выходных сигналов, связь между которыми описывается либо во временной, либо в частотной областях.

\Подробнее на подчеркнутом\

Масштаб времени – одна из наиболее важных характеристик для моделирования динамического процесса. Большинство технических систем включают в себя несколько процессов, существенно отличающихся временем изменения своих параметров и реакцией на внешнее возмущение. Поэтому при описании процесса важно выбрать масштаб времени, который соответствует поставленной цели. При этом задачи управления могут быть разделены на несколько уровней. События на уровне технологического оборудования происходят за доли секунды, например, при управлении манипулятором робота или инструментом станка. На следующем уровне управления, на уровне участка, целью является синхронизация различных механизмов, например решение, когда робот должен переместить деталь между двумя станками. Масштаб времени здесь уже имеет порядок от секунд до минут. На самом верхнем уровне планируется производство в целом, т. е. что производить и с какими конкретными характеристиками. Решение таких проблем может занимать дни или недели.

Выбор масштаба времени модели зависит от того, для кого она предназначена – для человека принимающего решения, или для процессорной системы управления. Принятый масштаб времени определяет какие внутренние и внешние процессы должны быть учтены в модели (в зависимости от скорости их изменения), а так же интервал квантования системы управления (через какое время система управления должна формировать новое значение управляющего сигнала).

Пример: езда на велосипеде с открытыми/закрытыми глазами. Время откр/закр определяется скоростью, траекторией движения, местностью и пр. – это «время квантования для человека»

Моделирование динамических систем.

Рассмотрим объект имеющий вход и выход

u(t) y(t)

u(t)=(u₁(t)...u_k(t))^T ; входная величина, управление (в общем случае вектор).

y(t)=(y₁(t)...y_p(t))^T ; выходная величина (выход), состояние (в общем случае вектор).

Моделью такого объекта может быть как линейная зависимость, так и сложная нелинейная функция. (напомнить что такое функция, аргумент)

В случае линейного описания объекта мы имеем ступенчатое изменение выхода при ступенчатом изменении входа. Большинство реальных объектов имеют более сложное поведение (запаздывание, гистерезис, нелинейности и т.п.)

Поэтому для рассмотрения объектов имеющих переходные процессы используются сложные модели в общем виде представленные зависимостями

F(y', y'', ... y⁽ⁿ⁾, u', u'', ... u^(m))=0 (**)

Это наиболее общий вид нелинейного дифференциального уравнения (д.у.), связывающего входной и выходной сигнал.

Существует два способа получения диф. ур. объекта:

• На основе применения известных законов (закон Ома, законы механики и т.д.). Эти законы не требуют экспериментальной проверки, достоверность применения моделей на их основе очевидна.

Применяется в случаях, когда объект управления простой и система невысокого порядка. Или когда объект очень сложный, и, вследствие его сложности, можно воспользоваться законами статистики.

• Эвристический способ (гр. heuriskö - нахожу, открываю).

Заключается в том, что вместо использования готовых законов, предлагаются уравнения, не вытекающие ни из каких законов, а основанные на опыте работы с предыдущими объектами, то есть различные экспертные оценки, мнение опытных специалистов. Такое описание называют феноменологическим, т.е. описанием объекта по основным чертам его внешнего поведения, без глубокого формального (математического, физического и т.п.) изучения его функционирования.

В этом случае, для полученной таким образом модели должны быть исследованы:

1. адекватность, т.е. насколько модель соответствует поведению реального объекта;

2. границы адекватности, т.е. те пределы изменения параметров и переменных модели, при которых сохраняется адекватность.

Для проверки адекватности и границ адекватности существует множество математических методов. (привести каких ? )

Существуют как хорошо изученные процессы, так и процессы, для которых известно очень мало и которые трудно поддаются количественному описанию. Например, динамика самолетов и ядерных реакторов изучалась очень тщательно, и существуют достаточно точные, хотя и очень сложные модели этих процессов. Есть процессы, которые трудно описать количественно. Например, лабораторный биотехнологический процесс ферментации с микроорганизмами одного типа в четко определенной питательной среде можно описать весьма точно. Те же процессы при вариации нескольких штаммов, состава питательной среды и изменении внешней условий трудно поддаются описанию. В этом случае процесс только частично можно описать обычными количественными моделями. Когда количественных моделей недостаточно или они слишком сложны, для описания процессов применяют семантические (лингвистические) модели. (можно привести пример)

Как правило, моделирование сложной системы представляет собой сложный процесс, требующий экспериментальной проверки. При физическом подходе модель формируется исходя из физических соотношений и уравнений баланса. При другом способе построения динамической модели в технический процесс вносятся определенные возмущения, а затем выполняется анализ серий входных и выходных данных. Такой анализ называется идентификацией параметров (parameter identification). Если он выполняется в реальном масштабе времени, т.е. со скоростью, сопоставимой со скоростью протекания процесса, то такая процедура называется рекурсивной оценкой (recursive estimation).

На практике обычно применяется комбинирование физического моделирования и идентификации параметров. При более глубоком изучении свойств процесса становится проще получить его точное динамическое описание. Однако даже тщательно разработанные модели, основанные на физическом подходе, требуют экспериментальной проверки – идентификации.

Параметры многих процессов и систем изменяются не только во времени, но и пространстве. Например, концентрация веществ в растворах при химических процессах, либо распределение силы сопротивления при движении объекта в различных средах. Физический баланс таких систем описывается уравнениями в частных производных. В системах управления процессами эти уравнения обычно аппроксимируются конечными разностями по пространственным переменным для того, чтобы систему можно было описать обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Моделирование дискретных событий.

Моделирование систем, работа которых основана на последовательности дискретных событий, принципиально отличается от моделирования динамических систем на основе описания вход/выход. Для управления температурой, уровнем жидкости или давлением на основе обратной связи модель процесса может быть не нужна. В этом случае значение контролируемого параметра поддерживается на заданном уровне с определенной точностью с помощью включения и выключения исполнительного механизма.

При таком бинарном управлении уже на стадии анализа системы должны быть рассмотрены все возможные нештатные и аварийные ситуации. Что будет, если выйдет из строя датчик или отключится питание? Подготовка исчерпывающего списка всех возможных событий в системе может быть достаточно сложной задачей.

Для участка, на котором станки обслуживаются роботом, необходима модель синхронизации. Эта задача принципиально отличается от простого управления на основе обратной связи. Синхронизация должна быть корректной в том смысле, что определенные детали должны быть доставлены конкретному станку в соответствующее время и в соответствующем порядке. Для моделирования таких задач можно использовать теорию массового обслуживания.

Моделирование динамических механических систем.

Физический подход к моделированию динамических систем основан на уравнениях баланса сил, массы, энергии и моментов. При этом используется второй закон Ньютона. Вводится некоторая система отсчета, относительно которой будут определяться положение, скорость и ускорение звеньев механизма. Для механической системы (рис. 1.1), характерной для многих технических устройств обладающих упруго-диссипативными свойствами можно записать систему дифференциальных уравнений первого порядка, в форме так называемых уравнений состояния.

Рис. 1.1. Расчетная схема кинематического механизма с упругой

связью и демпфированием.

При прямолинейном движении координата x и скорость v выражаются как скаляры

(1.1)

(1.2)

где F – сила, действующая на тело, m – его масса.

Уравнение состояния для этой системы с учетом сил демпфирования и инерции запишется в следующем виде

(1.3)

Разрешив относительно старшей производной, имеем

(1.4)

Данное уравнение является математической моделью поведения подвижной массы при силовом воздействии на нее. Оно может использовать для описания многих механизмов. Качественно решение уравнения зависит от относительной величины коэффициентов демпфирования b, и жесткости c. При малом коэффициенте демпфирования уравнение описывает колебательный процесс, а при больших значениях b колебания отсутствуют. Для характеристики систем такого рода часто применяются показатели относительного демпфирования, значение частоты собственных колебаний и ширину полосы пропускания.

Для систем с вращательным движением (рис.2.)

уравнения состояния имеют вид

(1.5)

(1.6)

где M1, M2 – действующие вращающий момент и момент сопротивления; J1, J2 – моменты инерции вращающихся масс на краях передающего вала; с – жесткость на кручение этого вала; β – коэффициент демпфирования вала; φ₁, φ₂ – углы поворота первой и второй инерционной массы соответственно.

Часто момент инерции звеньев может быть непостоянной величиной, например, при работе промышленного робота или прокатного стана, и нужно учитывать его зависимость от времени и фазовых координат объекта.

Момент сопротивления нагрузки также зависит от многих факторов. Силы трения (сухое трение) вызывают момент сопротивления, который не зависит от скорости, а только от направления вращения и действует всегда против него. В некоторых системах присутствует вязкое трение с моментом сопротивления, характеризующимся коэффициентом Стокса (кинематическая вязкость).

Когда элементы механических систем существенно деформируются, изменяют свою геометрию либо топологию, в этих случаях могут возникать значительные силовые реакции, оценить которые заранее невозможно. Такие динамические системы очень сложны для управления.

Описание управляемых систем во временной и частотной областях.

Вероятно, первое систематическое изучение устойчивости систем с обратной связью выполнил Джеймс С. Максвелл. В 1868 году Максвелл вывел дифференциальные уравнения маятникового регулятора, линеаризовал их в окрестности точки равновесия и показал, что устойчивость системы зависит от корней ее характеристического уравнения. В 1932 году американец шведского происхождения Гарри Найквист опубликовал свою знаменитую теорему о том, как определить устойчивость по форме частотной характеристики. Критерий Найквиста в момент своего появления считался революционным. В те времена военные считали эти теорему настолько важной, что США держали ее в тайне до конца Второй мировой войны.

В большинстве случаев технические процессы сложны и нелинейны, что не позволяет исследовать их классическими методами теории автоматического управления. В 1950-е годы некоторые исследователи вернулись к описанию систем посредством обыкновенных дифференциальных уравнений для задач управления процессами. Такое направление стимулировалось американской и советской космическими программами, поскольку обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой естественную форму описания динамики космических кораблей. Эта тенденция усилилась с появлением цифровых ЭВМ, которые позволили проводить расчеты, ранее практически не применявшиеся из-за огромных затрат времени. Применение цифровых вычислительных машин потребовало новых математических методов решения задач моделирования. Инженеры работали с дифференциальными уравнениями состояния, а не с частотными или характеристическими уравнениями. Появились новые фундаментальные понятия – управляемость, наблюдаемость и обратная связь по переменным состояния. Стало возможным описывать и исследовать сложные системы в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнения состояния систем.

Дифференциальные уравнения, описывающие физический процесс, необходимо преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае говорят, что получено описание в виде уравнений состояния в пространстве состояний (state-space form). В таком виде эти уравнения можно решать численными методами. При этом достаточно четко прослеживается связь между внутренними переменными и внешними входным и выходным сигналами.

В общем случае уравнения баланса нелинейны и, как правило, связаны друг с другом. Таким образом, описание динамики процесса может представлять собой набор нелинейных, связанных между собой дифференциальных уравнений первого порядка для баланса энергии, общей массы, массы компонентов, сил и моментов.

Уравнения состояния представляют собой практичный и удобный способ описания динамических систем. Состоянием называется набор всех переменных – так называемых переменных состояния (state variables), производные первого порядка которых входят в уравнения описания динамической системы. Концепция уравнений состояния имеет фундаментальное значение. Если известны текущее состояние системы (переменные состояния) и входные сигналы, то можно предсказать ее дальнейшее поведение. При этом предысторию, т.е. как было достигнуто текущее состояние, знать не нужно. Другими словами, текущее (начальное) состояние – это минимальное количество информации о системе, которое необходимо, чтобы предсказать ее будущее поведение.

Состояние х можно представить как вектор-столбец, компоненты которого – переменные состояния.

x (1.7)

Непосредственно измерить все переменные состояния можно в редких случаях (существуют внутренние переменные, за которыми не удается следить с помощью датчиков). Выходные величины (измеряемые параметры) образуют вектор у

y (1.8)

Поэтому описание в пространстве состояний называют также внутренним описанием (internal description).

В общем случае число датчиков, связанных с техническим процессом, меньше числа переменных состояния. Поэтому вычисление переменных состояния x по текущим значениям y выходных (измеряемых) параметров – нетривиальная задача.

На любую техническую систему влияют входные сигналы двух типов – сигналы, которыми можно управлять, и сигналы, которыми управлять невозможно. Сигналы первого типа называются управляющими сигналами или переменными управления и составляют вектор u

u (1.9)

Входные сигналы второго типа могут влиять на систему, но не поддаются управлению. Величина этих сигналов отражает влияние внешней среды на систему, например изменение (возмущение) нагрузки, вызванное температурой, радиацией, магнитным воздействием и т.п. Все эти сигналы обозначим вектором v

v = (1.10)

Целью системы управления является вычисление на основе имеющихся измерений у таких управляющих сигналов u, чтобы, несмотря на влияние возмущений v, техническая система выполняла поставленные задачи. Управляемую систему можно представить в виде структуры (рис. 1.3), на которой показаны управляющие силы, возмущения и выходные переменные.

Описание линейной системы в пространстве состояний.

В том случае, когда модель управляемого объекта (процесса) может быть представлена линейными динамическими системами, их можно моделировать линейными дифференциальными уравнениями. Если эти уравнения являются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, можно найти аналитическое решение х(t) при произвольных входных сигналах u(t) и известных начальных условиях.

При этом между внутренними переменными состояния х и измерениями у существует линейная зависимость.

Линейная система имеет много преимуществ, наиболее важным является принцип суперпозиции (superposition principle). Это означает, что при изменении амплитуды входного сигнала на величину b выходной сигнал изменится на величину kb. Несмотря на все достоинства линейного описания, применять его возможно далеко не всегда, поскольку большинство технических процессов существенно нелинейны. Если нелинейности "гладкие", т.е. функция не имеет разрывов второго рода, то при определенных условиях на некоторых интервалах нелинейную систему можно линеаризовать.

Для многих задач управления параметры промышленных процессов должны поддерживаться вблизи некоторых опорных значений. В этом случае целью систем управления является приближение параметров процесса к их опорным значениям. Пока отклонения от опорного значения малы, линейное описание таких систем является адекватным. Однако при больших отклонениях могут потребоваться другие модели, учитывающие влияние нелинейностей объекта.

Описание системы в виде отношений входных и выходных переменных.

Частотные методы используют анализ функций комплексной переменной и преобразование Лапласа. Главные элементы этого подхода – передаточные функции, функциональные блок-схемы и их преобразование, анализ нулей и полюсов функций. К преимуществам анализа систем в частотной области относится возможность использовать соответствующие экспериментальные данные, позволяющие непосредственно построить удовлетворительную модель системы. Если описывается только связь между входными и выходными сигналами, то некоторые внутренние переменные и их взаимосвязи остаются скрытыми, представление системы становится более компактным и имеет меньшее число параметров, чем представление в пространстве состояний. Поскольку в модель включены только входные и выходные переменные, то она называется внешним описанием (external description) в противоположность внутреннему представлению уравнениями состояния. Многие регуляторы в системах управления, например ПИД-регулятор, настраиваются на базе представления технического процесса в виде отношений входных и выходных переменных.

Область применения линейных моделей.

Существуют динамические явления, которые не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Нелинейное поведение реальных систем обуславливается различными причинами. Некоторые из них:

• ограничение сигнала в устройствах управления

• наличие действующих сил, обусловленных сухим трением

• различные виды реле (с зоной нечувствительности гистерезисом и т. д.)

• клапаны (зоны нечувствительности, насыщение);

• нелинейные деформации механических пружин;

• аэродинамическое сопротивление;

• двигатели постоянного тока с последовательно включенной обмоткой возбуждения (момент - функция квадрата тока роторной цепи);

• двигатели переменного тока.

В реальных условиях все сигналы ограничены. Другой пример ограничения сигнала - обратная связь по току в приводах постоянного тока Ток должен быть ограничен, иначе двигатель сгорит. Соответственно, система управления двигателем не может быть линейной, особенно при больших ускорениях и моментах.

Датчики систем управления также могут иметь нелинейные характеристики. Такая зависимость может быть линейна при небольших значениях измеряемых сигналов, и существенно нелинейной – для больших.

Обычно для нелинейных систем аналитическое решение не может быть получено. Для их решения используются численные методы, что вполне приемлемо в большинстве случаев.

Нелинейные системы.

Нелинейные системы можно описать в следующем виде

. (1.11)

.

где определены n переменных состояния и r входов, или в векторной форме

(1.12)

В состоянии равновесия производные dx_i/dt равны нулю. Пусть точке равновесия х^* соответствует постоянный управляющий сигнал u^*, тогда условие равновесия

f(x^*,u^*)=0 (1.13)

Это уравнение эквивалентно n скалярным уравнениям и может иметь несколько решений, каждое из которых соответствует некоторой точке равновесия.

Численное моделирование динамических систем в задачах управления.

Для численного решения нелинейных дифференциальных уравнений применяются различные методы, в основе которых – аппроксимация производных по времени разностными уравнениями.

(1.14)

Если известны начальные условия x(0), то можно рассчитать значения x(h), x(2h), x(3h), … , x(nh), которые являются приближениями точного решения в соответствующие моменты времени. Для решения систем дифференциальных уравнений в процессорных системах управления должны быть определены начальные условия и величина шага интегрирования. Чем меньше шаг интегрирования, тем меньше (формально) погрешность аппроксимации при численном интегрировании. Однако слишком маленький шаг ведет к неоправданно большому времени вычислений (которое так же зависит от сложности вычислений, типа уравнений, числа переменных и производительности процессора). Поскольку слишком большое значение шага вызывает проблемы сходимости решений, важно определить компромиссное значение. Эффект неправильно выбранного шага может оказаться очень существенным, особенно если в моделируемой системе взаимодействуют быстрые, и медленные динамические процессы.

На рис. 1.4, 1.5 показано, что при неправильно выбранном шаге решения дифференциальных уравнений, возможно получения недостоверного результата.

Рис. 1.4. Моделирование разгона двигателя при шаге интегрирования h=0.01 с.

Рис. 1.5. Моделирование разгона двигателя при шаге интегрирования h=0.08 с

В данном случае решались уравнения описывающие разгон двигателя постоянного тока при синусоидальном изменении нагрузки на его валу. В общем случае для больших значений h решение будет иметь неустойчивый, колебательный характер. Проблема возникновения колебаний из-за слишком большого шага интегрирования называется численной неустойчивостью. Эта неустойчивость не имеет ничего общего с самой системой и вызывается погрешностями аппроксимации при вычислении решения.

Существует много методов численного интегрирования, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки. Наибольшее распространение получили методы Рунге-Кутта. Большинство методов интегрирования допускают варьируемую величину шага, которая выбирается автоматически, чтобы удовлетворить заданной величине допустимой погрешности. Однако, в этом случае невозможно обеспечить получение решения за одинаковые интервалы времени, что важно для систем управления, работающих в реальном времени.

Дискретные модели динамических систем.

При использовании в системах управления цифровой ЭВМ, сбор данных и выработка управляющих сигналов происходят только в определенные моменты времени. Ситуация принципиально не меняется при повышении скорости процессора - данные остаются дискретными выборками непрерывного сигнала.

Приведем пример формирования модели физического процесса, пригодной для компьютерного управления. В соответствии с дискретным характером модели, измеряемые данные собираются через регулярные интервалы времени. Эти интервалы не обязательно должны быть одинаковыми, однако описание дискретной динамически модели проще при постоянном интервале времени. Данный процесс называется выборкой, дискретизацией (sampling) или квантованием, величина интервала времени – периодом дискретизации (sampling time) или квантования. Будем считать, что измеряемые данные и сигналы управления остаются неизменными в течение интервала выборки.

Дискретное описание в пространстве состояний.

Нелинейный процесс, описанный уравнениями (1.11) можно аппроксимировать разностным уравнением

x[(k+1)·h]≈ x(k·h)+h∙f(x,u) (1.15)

где h - интервал выборки и k - его порядковый номер; f(x,u) производная по времени вектора состояния системы х в соответствии с уравнением (1.11). Аппроксимация справедлива, если h достаточно мал и производная функции гладкая. Линейная система с постоянными коэффициентами в дискретном виде может быть представлена следующим образом

x₁[(k+1)·h]=(1+h·a₁₁)·x₁(k·h)+…+h·a_1n·x_n(k·h)+ h·b₁₁·u₁(k·h) +…+ h·b_1r·u_r(k·h)

.

. (1.16)

.

x_n[(k+1)·h]=(1+h·a_n1)·x₁(k·h)+…+h·a_nn·x_n(k·h)+ h·b_n1·u₁(k·h) +…+ h·b_nr·u_r(k·h)

Предполагается, что сигнал управления u(t) остается постоянным между моментами выборки, т.е. система включает в себя схему удержания или выборки/хранения.

Аппроксимация конечными разностями (1.16) стремится к точному решению при малых значениях h интервала выборки. Решение уравнений дискретной модели

y(k·h)=C·x(k·h)+D·u(k·h) (1.17)

на цифровой ЭВМ получается в последовательные моменты времени на основе решения шаг за шагом разностных уравнений.

Поскольку измерения происходят периодически, то уравнение (1.16) для дискретной модели справедливо только в моменты выборки.

Дискретное описание процесса через отношение вход/выход.

В дискретных моделях, так же как и в непрерывных, часто удобно напрямую связать вход процесса w с его выходом, в особенности, когда регулятор записан в такой форме, т.е. он оперирует выходной величиной процесса для расчета управляющего сигнала. Дискретно-временной анализ проще выполнить при помощи операторов сдвига q (shift operator). Эффект от применения оператора к зависящей от времени переменной z(t) такой же, что и сдвиг по времени на интервал h – его также называют сдвигом вперед (forward shifting).

q·z(k·h)=z[(k+1)·h] (1.18)

С помощью оператора сдвига можно заменить разностные уравнения на алгебраические, которые проще преобразовывать и решать. Здесь используется принцип аналогичный преобразованию Лапласа для упрощения дифференциальных уравнений с помощью комплексной переменной.

Оператор обратного сдвига q^-1 (backward shift operator) сдвигает функцию времени на один шаг назад. В общем случае оператор сдвига можно применять несколько раз

qⁿ·z(k·h)=q·q·…q·z(k·h)=z[(k+n)·h] (1.19)

Оператор сдвига q можно применять и к вектору x(k·h), что эквивалентно использованию этого оператора к каждому его компоненту.

Если существует дискретное представление в пространстве состояний [уравнение (1.17)], то, исключив вектор х и приведя подобные члены, получим связь между входом и выходом в виде

y[(k+n)·h]+a₁·y[(k+n-1)·h]+…+a_n·y(k·h)=b₀·u[(k+n)·h]+…+b_n·u(k·h) (1.20)

Применение оператора сдвига q дает более компактную запись

(qⁿ+a₁·q^n-1+…+a_n)·y(k·h)=(b₀·qⁿ+b₁·q^n-1+…+b_n)·u(k·h) (1.21)

Зависимость между входными и выходными переменными линейной системы можно представить передаточной функцией, определяемой как отношение изображений Лапласа входных и выходных сигналов системы. Аналогичное описание можно получить с помощью оператора сдвига q для дискретных систем. Дискретный передаточный оператор H(q) (discrete operator) определяется из уравнения (1.21) следующим образом

H(q)= (1.22)

Выражения в обеих частях уравнения (1.22) можно сдвинуть на n периодов назад. При использовании оператора обратного сдвига, отношение вход/выход выражается в виде

H^*(q)= (1.23)

В дискретном случае, как и для непрерывной передаточной функции, коэффициенты однозначно определяются из внутреннего описания в пространстве состояний.