Математика

1. Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'

Транспонирование – замена столбцов строками

Строки и столбцы поменялись местами

2 Метод обратной матрицы (Матричный метод) решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу свободных членов.

Пример 11

Решить систему с матричным методом  

Решение: Запишем систему в матричной форме:  , где  

Решение системы найдем по формуле  (её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения).

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу   и выполнить матричное умножение  . Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?

Обратную матрицу найдем по формуле: , где   – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров 

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент: То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент   находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент   находится в 3 строке, 2 столбце

Таким образом:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы  .

 – матрица алгебраических дополнений.

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Теперь записываем обратную матрицу:

Ответ: 

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если  , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если  , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя: ,  , 

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

.Пример Решить систему по формулам Крамера.  

Решение: Решим систему по формулам Крамера. , значит, система имеет единственное решение.

Ответ: 

3 Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. 4 Теорема Кронекера-Капелли: Для того, чтобы система была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы был равен рангу ее расширенной матрицы

(Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов)

5 Терема Гаусса: Система линейно-алгебраических уравнений, полученная из данной систему путем линейных операций эквиваленты исходной системе

Теорема Гаусса является математическим обоснованием метода гаусса решения линейно-алгебраических систем уравнений

Линейные операции над системами линейно-алгебраических уравнений:

1. В данной системе можно переставлять любые 2 уравнения в этой системе в этой системе (менять местами)

2. Можно умножать уравнения на любое одно и тоже число не равное нулю

3. К одному уравнению системы можно добавить второе уравнение системы, умноженное на какое-либо число

6. Вектором называется направленныйотрезок, для которого указано его начало и конец:

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора   и  :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор   от конца вектора  :

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности:  , при этом возможна детализация:   (векторы сонаправлены) или   (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора   на число   является такой вектор  , длина которого равна  , причём векторы    и   сонаправлены при   и противоположно направлены при  .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель   отрицательный,  то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах   или  , то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора   в два раза меньше длины вектора  . Если множитель   по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в   раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например,  . Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно  коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному)вектор.

4) Векторы   сонаправлены. Векторы   и   также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

правило параллелограмма

7

Базис системы векторов

Базисом системы векторов A₁ , A₂ ,..., A_n называется такая подсистема B₁, B₂ ,...,B_r (каждый из векторов B₁,B₂,...,B_r является одним из векторов A₁ , A₂ ,..., A_n)_, которая удовлетворяет следующим условиям: 1. B₁,B₂,...,B_r линейно независимая система векторов; 2. любой вектор A_j системы A₁ , A₂ ,..., A_n линейно выражается через векторы B₁,B₂,...,B_r

r — число векторов входящих в базис.

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1,λ₂,...,λ_n, при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.