13. Решение задач линейного программирования*

EXCEL позволяет решать сложные задачи поиска оптимального решения со многими неизвестными и ограничениями. Задачи такого типа часто встречаются в экономических исследованиях, причем целевая функция и ограничения в большинстве случаев линейны. Для решения используется метод линейного программирования.

Рассмотрим решение с помощью EXCEL следующей задачи оптимизации:

минимизировать целевую функцию Y = 4x₁ + x₂ при ограничениях:

3x₁ + x₂ = 3,

4x₁ + 3x₂ >= 6,

x₁ + 2x₂ <= 4,

x₁ >= 0, x₂ >= 0.

Суть этой задачи заключается в том, чтобы найти такие значения x_{1 ,} x_2, при которых целевая функция Y минимальна. Для поиска решения следует выбрать команду меню Сервис - Поиск решения. Откроется диалоговое окно Поиск решения. В поле “Установить целевую ячейку” следует задать адрес ячейки, в которой получим минимальное значение Y - $D$4 (см. таблицу).

	A	B	C	D
1
2
3
4	0.4			3.4
5	1.8
6
7		8.59E-8
8		1
9		0

В следующем поле диалогового окна задаем поиск минимального значения. В поле Изменяя ячейки задаем адреса ячеек, значения которых будут варьироваться в процессе решения (им соответствуют x₁ , x₂) - $A$4: $A$5. В поле Ограничения задаем адреса ячеек, в которые помещаем ограничения, для чего необходимо щелкнуть по кнопке Добавить. Ограничения записываем в ячейки $B$7:$B$9. Первое ограничение 3x₁ + x₂ = 3 следует представить в таком виде: 3* $A$4 + $A$5 - 3 = 0. Второе ограничение 4x₁ + 3x₂ >= 6 представим в виде 4* $A$4 + 3*$A$5 - 6 > = 0. Аналогичным образом записываем оставшиеся ограничения. Кроме того, необходимо задать условия неотрицательности x₁ , x₂. Таким образом, в поле Ограничения будут записаны следующие ограничения: $A$4: $A$5 >= 0, $B$7=0, $B$8 >= 0, $B$9 <= 0.

Поиск решения начинается щелчком по кнопке Выполнить. Если решение задачи существует, то появляется окно “Результаты поиска решения”, в котором выдается сообщение “Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены”. Щелкните по кнопке “Результат”, и таблица с исходными данными превращается в таблицу с результатами решения (в качестве исходных данных в ячейки $A$4 и $A$5 можно занести даже не удовлетворяющие ограничениям значения).

Результат решения: минимальное значение целевой функции Y=3.4 достигается при x_{1 =} 0.4, x₂ = 1.8. В ячейках $B$7:$B$9 выведены значения ограничений, соответствующие оптимальному решению. В ячейке $B$7 должен быть 0, однако мы видим число 8.59E-8, т.е. 8.59 умножить на 10 в степени -8. Это очень малое число, поэтому можно считать, что ограничение удовлетворено.

Задание 12.

Во всех вариантах x_i >= 0.

Вариант 1. Максимизировать Y = x₁ + x₂ при ограничениях:

2x₁ +3x₂ = 5

7x₁ + 2x₂ <= 6

Вариант 2. Минимизировать Y = x₁ + x₂ + x₃ + x₄ при ограничениях:

2x₁ + x₂ + x₃ = 7

4x₁ + 8x₂ + x₄ = 8

Вариант 3. Минимизировать Y = 2x₁ + 3 x₂ при ограничениях:

x₁ + x₂ = 10

-2x₁ +3 x₂ <= -5

7x₁ - 4 x₂ <= 6.

Вариант 4. Минимизировать Y = 2x₁ + 3 x₂ при ограничениях:

x₁ + x₂ = 10

-2x₁ +3 x₂ <= -5

7x₁ - 4 x₂ <= 10.