§11. Ряды Фурье.
Далее мы будем рассматривать глобальное разложение, то есть на конечном отрезке [a,b].
Определение. Понятие ортогонольных и нормированных систем ф-ий:
(х),
(х)
интегрируемые при х[a,b],
тогда
(*)
- cкалярное
произведение.
для (*) вып-ся аксиомы ск-го произведения:
А.1 (,)=(,)
А.2 (,)=(,)=(,), =const
А.3 (,1+2)=(,1)+(,2)
Определение:
Функции
и
на [a,b]
ортогональны если (,)=0,
т.е.
(х)(х)dx=0.
Определение.
Понятие нормированности:
=
- норма (длина вектора).
Докажем, что норма обладает всеми св-вами длины:
=[ 2(x)dx]0.5
A.1 0, =0 0
A.2 =, R1
A.3 1+2=1+2
Определения: Если для системы функций 1,2,...,n введено понятие нормы, то такая система наз-ся нормированной. Если норма каждого элемента пространства равна 1, то наз-ся нормированной на 1. Если система функций попарно ортогональна и нормированная на 1, то такая система наз-ся ортонормированной: ОН - ортонормированная система, если
;
ОН 
Пример: при x[-,]
{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,
cosnx,sinnx}.
.
Аналогично
sin(nx)sin(mx)dx=0;
sin(nx)cos(mx)dx=0.
Найдем норму: cosnx=
.
Аналогично
sin(nx)=
.Получаем
ОН систему:
Ряд Фурье. Коэфициенты Фурье по ОН системе.
{1(x),2(x),...,n(x)}
- ОН система, т.е.
.
f(x)=
fnn(x)
- ряд Фурье, где fn
- коэфициенты. Умножим обе части этого
уравнения на m(x)
и проинтегрируем:
f(x)m(x)dx== m(x) fnn(x)dx= fn m(x)n(x)dx=0 - когда mn. Когда m=n:
=fn(n,n)=fn= f(x)n(x)dx f(x) (f,n)n(x)
Ряд Фурье для тригонометрических функций.
,
f(x) 
(ancos(nx)+bnsin(nx))
(4)
где
an=
f(x)cos(nx)dx,
bn=
f(x)sin(nx)dx,
n=0,1,2,...
Определение: Функция наз-ся кусочно-непрерывной на данном отрезке, если этот отрезок можно разбить на конечное число интегралов, в каждом из которых функция непрерывна.
Т-ма Дирихле: Пусть f(x)
1)определена для всех х[-,]
2)кусочно-непрерывная на [-,]
3)кусочно-монотонная на [-,]
4)ограничена на [-,], тогда она разложима в тригонометрический ряд Фурье (4). Если точка х[-,] и в этой точки f(x) непрерывна, то сумма ряда
S(x)= (ancos(nx)+bnsin(nx))=f(x). Если точка х - точка разрыва, скачок, то S(x)=1/2 [f(x-0)+f(x+0)]
S(-)=S()=1/2 [f(+0)+f(-0)]
Замечания: 1)поведение функции f за пределами [-,] может в корне отличаться от значения S.
2)если мы хотим разложить f на всей действительной оси, то соглас- но (4) мы должны продол- жить пе- риодическим образом с периодом 2.
Пример: f(x)=x, x[-,]
a0= xdx=0
Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.
Часто возникает задача разложения функций в тригонометрический ряд на произвольном промежутке
y[a,b] (a,b < ,a < b)
x=y+; [-,] переходит в [a,b].
,
m,
f(y+)=f*(y);
dx=dy,
an=
f*(y)cosn(y+)dy
bn=
f*(y)sinn(y+)dy,
f*(y)=
+
(ancosn(y+)+bnsinn(y+))
Разложив cos и sin по формулам:
f*(y)=
+
(a*ncosny+b*nsinny),
где нужно вычислить a*n
, b*n
и a*0
.
Примеры: 1) a=0, b=L >0
x=
a= - L, b= L
x=
Разложение четных функций в тригонометрический ряд.
f(x)=f(-x) , xR1
an=
f(x)cosnxdx=
f(x)cosnxdx
bn=0
f(x)=
+
ancosnx
- разложение по косинусам.
Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд.
f(x)= - f(-x); a0=0, an=0
f(x)= bnsinnx
bn= f(x)sinnxdx
- разложение по синусам.
Примеры: 1) f(x)=x
a0= 1dx=2; an= 1cosnxdx=0
f(x)= =1
2)
Функция
bn=
1sinnxdx=
Разложение функций в ряд по синусам в несимметричном промежутке (0, L).
f(x) , x[0, L]. Доопределим функцию на промежутке [-L,0] (нечетным образом)
В ряд по синусам.
f(x)=
bnsin
,
где
bn=
f(x)sin
dx
В ряд по косинусам (четным образом).
f(x)= + ancos , где
an= f(x)cos dx
Пример: по синусам
f(x)=x, x[0,1], L=1
