22.Метод наименьших квадратов (мнк) и его реализация с использованием сервиса “Поиск решения”

Использование сервиса Поиск решения позволяет наглядно  продемонстрировать суть метода наименьших квадратов (МНК).  Результаты расчетов и проверки качества моделей приведены в таблицах и  на диаграммах. Схема расчетов та же, что и в задачах математического программирования:  - задать произвольные коэффициенты аппроксимирующей функции,  - построить функцию в заданном диапазоне Х,  - вычислить отклонения Y – Yфакт для диапазона, в котором значения Y  используются для настройки модели (оценки коэффициентов),  - вычислить все (Y – Yфакт) 2 и сумму (Y – Yфакт) 2  (сумма квадратов  отклонений, Error Squared Sum, ESS) ,  - вызвать Поиск решения, целевая ячейка ESS, Изменяя ячейки  коэффициенты, ограничений нет, Выполнить.  Показатель качества модели – коэффициент корреляции Х и Y R и  его квадрат – коэффициент детерминации R2 .  Согласно теореме Гаусса-Маркова, МНК обеспечивает наилучшую  линейную несмещенную оценку вектора параметров, т.е. наилучшее  качество линейной модели, если соблюдаются условия:  1. Равенство дисперсий остатков в разных диапазонах Х. Это  свойство называется гомоскедастичность, его несоблюдние –  гетероскедастичность. Отклонение от гомоскедастичности проверяется  по тесту Голдфелда-Квандта  GQ = ДИСП Ост1 / ДИСП Ост2  где ДИСП Ост1 и ДИСП Ост2 – дисперсии остатков (отклонений) в  разных половинах диапазона Х; большая дисперсия делится на меньшую;  GQ сравнивают с критерием Фишера для заданных уровня значимости и  количества точек; нормально GQ < 5.

22.Мнк и его реализация с использованием сервиса «Поиск решений»

Использование сервиса Поиск решения позволяет наглядно продемонстрировать суть метода наименьших квадратов (МНК). Результаты расчетов и проверки качества моделей приведены в таблицах и  на диаграммах. Схема расчетов та же, что и в задачах математического программирования:  - задать произвольные коэффициенты аппроксимирующей функции,  - построить функцию в заданном диапазоне Х,  - вычислить отклонения Y – Yфакт для диапазона, в котором значения Y  используются для настройки модели (оценки коэффициентов),  - вычислить все (Y – Yфакт)^2 и сумму (Y – Yфакт)^2(сумма квадратов отклонений, Error Squared Sum, ESS) ,  - вызвать Поиск решения, целевая ячейка ESS, Изменяя ячейки  коэффициенты, ограничений нет, Выполнить.  Показатель качества модели – коэффициент корреляции Х и Y R и  его квадрат – коэффициент детерминации R2. Согласно теореме Гаусса-Маркова, МНК обеспечивает наилучшую линейную несмещенную оценку вектора параметров, т.е. наилучшее качество линейной модели, если соблюдаются условия:  1. Равенство дисперсий остатков в разных диапазонах Х. Это  свойство называется гомоскедастичность, его несоблюдние – гетероскедастичность. Отклонение от гомоскедастичности проверяется по тесту Голдфелда-Квандта  GQ = ДИСП Ост1 / ДИСП Ост2, где ДИСП Ост1 и ДИСП Ост2 – дисперсии остатков (отклонений) в разных половинах диапазона Х; большая дисперсия делится на меньшую;  GQ сравнивают с критерием Фишера для заданных уровня значимости и количества точек; нормально GQ < 5.

2. Отсутствие автокорреляции, т.е. взаимозависимости соседних значений остатков; коффициент автокорреляции можно вычислить с помощью функции КОРРЕЛ, задав в окне Массив1 диапазон остатков с номерами 1 : N-1, а в окне Массив2 диапазон 2 : N; по полученному коэффициенту R вычисляют статистику Дарбина-Уотсона DW = 2(1-R), для которой вычислены критические значения при различных уровнях значимости: приблизительно 0 : 1 и 3 : 4 плохо, 1 : 1,5 и 2,5 : 3 так себе,1,5 : 2,5 хорошо. Наличие автокорреляции означает, что аппроксимирующая функция подобрана неверно.

Вычисленные для обеих моделей R2, DW, GQ представлены в таблицах, а также показаны графики остатков. Видно, что качество обеих моделей высокое, применение МНК правомерно. Применение для прогноза одной из двух моделей зависит от дополнительной информации и

личного опыта.

Важная характеристика экономических процессов – эластичность, которая показывает, на сколько процентов изменится зависимая переменная Y при увеличении влияющей переменной Х на 1 % : Э = (ΔY / Y) / (ΔX / X)