8. Данные, необходимые для расчета и графического изображения шкалы регрессии

   • коэффициент регрессии — R_у/х;

   • уравнение регрессии — у = М_у + R_у/х (х-М_x);

   • сигма регрессии — σ_Rx/y

9. Последовательность расчетов и графического изображения шкалы регрессии.

   • определить коэффициент регрессии по формуле (см. п. 3). Например, следует определить, насколько в среднем будет меняться масса тела (в определенном возрасте в зависимости от пола), если средний рост изменится на 1 см.

   • по формуле уравнения регрессии (см п. 4) определить, какой будет в среднем, например, масса тела (у, у₂, у₃...)* для определеного значения роста (х, х₂, х₃...).  ________________  * Величину "у" следует рассчитывать не менее чем для трех известных значений "х".

При этом средние значения массы тела и роста (М_х, и М_у) для определенного возраста и пола известны

• вычислить сигму регрессии, зная соответствующие величины σ_у и r_ху и подставляя их значения в формулу (см. п. 6).

• на основании известных значений х₁, х₂, х₃ и соответствующих им средних значений у₁, у₂ у₃, а также наименьших (у — σ_rу/х) и наибольших (у + σ_rу/х) значений (у) построить шкалу регрессии.

Для графического изображения шкалы регрессии на графике сначала отмечаются значения х, х₂, х₃ (ось ординат), т.е. строится линия регрессии, например зависимости массы тела (у) от роста (х).

Затем в соответствующих точках у₁, y₂, y₃ отмечаются числовые значения сигмы регрессии, т.е. на графике находят наименьшее и наибольшее значения у₁, y₂, y₃.

10. Практическое использование шкалы регрессии. Разрабатываются нормативные шкалы и стандарты, в частности по физическому развитию. По стандартной шкале можно дать индивидуальную оценку развития детей. При этом физическое развитие оценивается как гармоничное, если, например, при определенном росте масса тела ребенка находится в пределах одной сигмы регрессии к средней расчетной единице массы тела — (у) для данного роста (x) (у ± 1 σ_Ry/x).

Физическое развитие считается дисгармоничным по массе тела, если масса тела ребенка для определенного роста находится в пределах второй сигмы регрессии: (у ± 2 σ_Ry/x)

Физическое развитие будет резко дисгармоничным как за счет избыточной, так и за счет недостаточной массы тела, если масса тела для определенного роста находится в пределах третьей сигмы регрессии (у ± 3 σ_Ry/x).

48. Расчет параметров линейной парной регрессии

Парная – регрессия между двумя переменными у и x, т. е, модель вида: у = f (x) + Е, где у -зависимая переменная (результативный признак), x – независимая, объясняющая переменная (признак - фактор), Е - возмущение, или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных факторов в модели.

В случае парной линейной зависимости строится регрессионная модель по уравнению линейной регрессии. Параметры этого уравнения оцениваются с помощью процедур, наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК) - метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции.

где у_i- статические значения зависимой переменной; f (х) - теоретические значения зависимой переменной, рассчитанные с помощью уравнения регрессии.

Экономический смысл параметров уравнения линейной парной регрессии. Параметр b показывает среднее изменение результата у с изменением фактора х на единицу. Параметр а = у, когда х = 0. Если х не может быть равен 0, то а не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при а: если а > 0. то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, т. е. вариация результата меньше вариации фактора: V < V. и наоборот.

То есть МНК заключается в том, чтобы определить а и а, так, чтобы сумма квадратов разностей фак­тических у и у.вычисленных по этим значениям a₀ и а1 была минимальной:

Рассматривая эту сумму как функцию a₀ и a₁ дифференцируем ее по этим параметрам и приравниваем производные к нулю, получаем следующие равенства:

n - число единиц совокупности (заданных параметров значений x и у). Это система «нормальных» уравнений МНК для линейной функции (y_x)

Расчет параметров уравнения линейной регрессии:

 , a = y – bx

Нахождение уравнения регрессии по сгруппированным данным. Если совокупность сгруппирована по признаку x, для каждой группы найдены средние значения другого признака у, то эти средние дают представление о том, как меняется в среднем у в зависимости от х. Поэтому группировка служит средством анализа связи в статистике. Но ряд групповых средних у_x имеет тот недостаток, что он подвержен случайным колебаниям. Они создают колебания у_x отражающие не закономерность данной зависимости, а затушевывающий ее «шум».

Групповые средние хуже отражают закономерность связи, чем уравнение регрессии, но могут быть использованы в качестве основы для нахождения этого уравнения. Умножая численность каждой группы n_ч на групповую среднюю уч мы получим сумму у в пределах группы Суммируя эти суммы, найдем общую сумму у. Несколько сложнее с суммойху. Если при сумме ху интервалы группировки малы, то можно считать значение x для всех единиц в рамках группы одинаковым Умножив на него сумму у, получим сумму произведений x на у в рамках группы и, суммируя эти суммы, общую сумму xу. Численность n_x, здесь играет такую же роль, как взвешивание в вычислении средних.

С помощью регрессионного анализа формируется модель или форма связи между факторами и результативными признаками. Если модель отражает связь между одним факторным и результативным показателем, то модель назыв. прогрессивной. Результативный показатель – ŷ ; ŷ = ао + а1*х   -  уравнение линейной парной регрессии ао , а1 – параметры ; х=0, ŷ= ао ; а1 – опред. силу связи между фак-ым и результ-ым показателем. Линейная  ;  Гиперболическая  ; Параболическая  ; Показательная  ;  ;  . Для проверки возможности использования линейной функции определяется разность  , если она <0,1 то можно применить линейную функцию.  ,m – число групп. Если  < F-критерия, то можно. (Значение F-критерия определяется по таблице α=0,05, число степеней свободы числителя (k1 = m-2) и знаменателя (k2 =n-m))