Ещё вариант:

Корреляционная зависимость.

Условимся обозначать через Х независимую переменную. а через У—зависимую переменную.

 Зависимость величины Y от Х называется функциональной. если каждому значению величины Х соответствует единственное значение величины У.

 Обратим внимание на то, что если Х—детерминированная величина (т. е. принимающая вполне определенные значения), то и функционально зависящая от нее величина У тоже является детерминированной; если же X— случайная величина, то и У также случайная величина.

Однако гораздо чаще в окружающем нас мире имеет место не функциональная, а

 стохастическая, или вероятностная, зависимость, когда каждому фиксированному значению независимой переменной Х соответствует не одно, а множество значений переменной У, причем сказать заранее, какое именно значение примет величина У, нельзя.

 Более частое появление такой зависимости объясняется действием на результирующую переменную не только контролируемого или контролируемых факторов (в данном случае таким контролируемым фактором является переменная X), а и многочисленных неконтролируемых случайных факторов. В этой ситуации переменная У является случайной величиной. Переменная же Хможет быть как детерминированной, так и случайной величиной.

 Если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то стохастическая зависимость называется корреляционной.

Приведем пример такой зависимости: пусть У – урожай зерна, Х – количество удобрений. С одинаковых по площади участков при равном количестве внесенных удобрений снимают разный урожай. Т.е. У не является функцией от Х. это объясняется влиянием случайных факторов: осадки, температура и т.п. Но опыт показывает что средний урожай является функцией от количества удобрений, У связан с Х корреляционной зависимостью: изменяя количество вносимых удобрений, изменяется и средний урожай, т.е. математическое ожидание величины У изменяется при изменении значения Х. Такое математическое ожидание называется условным и обозначается М( У/ Х= х) и читается: математическое ожидание СВУ при условии, что Х =х.

 Тогда можно считать: корреляционная зависимость имеет место, если при изменении х изменяется условное математическое ожидание У.

Аналогично вводится понятие условного математического ожидания для СВХ.

 g(x) =М(У/Х=х) и f(y) = М(Х/У=у) – называются функциями регрессии, а линию на плоскости, соответствующую этому уравнению – линией регрессии соответственно У на Х и Х на У. Эта линия показывает, как в среднем зависит У от Х или Х от У.

Коэффициент корреляции.

Для характеристики корреляционной зависимости между случайными величинами ведем понятие коэффициента корреляции.

 Если Х и У являются независимыми случайными величинами, то М(ХУ) =М(Х)М(У). Если же Х и У зависимые, то М(ХУ) ¹ М(Х)М(У).

За меру зависимости Х и У принята безразмерная величина r, определяемая соотношением

r называется коэффициентом корреляции.

Случайные величины Х и У называются некоррелированными, если r =0, и коррелированными, если r¹ 0.

Пример1. Независимые СВ Х и У некоррелированные, т.к. r =0 (числитель равен нулю).

Пример2. Пусть между Х и У линейная зависимость, т.е. У = АХ +В.

Подставляя вместо У его выражение через Х и пользуясь свойствами математического ожидания получим r =1.

 Свойства коэффициента корреляции:

1.      Если Х и У независимые СВ, то r =0;

2.      -1£ r £1 .При этом, если |r| =1, то между Х и У функциональная , а именно линейная зависимость;

3.      r характеризует относительную величину отклонения М(ХУ) от М(Х)М(У), и т.к. отклонение имеет место только для зависимых величин, то  r характеризует тесноту зависимости.