Линейный коэффициент корреляции
Корреляция – это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.
Виды зависимостей:
1) парная корреляция – связь между двумя признаками (между двумя факторными либо между факторным и результативным признаком)
2) частная корреляция – зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков
3) множественная корреляция – зависимость результативного и двух и более факторных признаков.
Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связи между двумя признаками.
Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции.
Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции:
Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до+1.
По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи:
Величина коэффициента корреляции |
Характер связи |
До ±0,3 |
Практически отсутствует |
±0,3 – ±0,5 |
Слабая |
±0,5 – ±0,7 |
Умеренная |
±0,7 – ±1,0 |
Сильная |
Наиболее распространенный коэффициент корреляции. Предназначен для расчета силы и направления линейной зависимости между переменными исследования.
Смысл коэффициента линейной корреляции.
Коэффициент линейной корреляции отражает меру линейной зависимости между двумя переменными. Предполагается, что переменные измерены в интервальной шкале либо в шкале отношений.
Если представить две переменные на координатном поле, то каждая пара значений будет отображать координаты точки в этом поле. Чем ближе точки к усредненной прямой, тем выше коэффициент корреляции (см. следующий рисунок ),.
Коэффициент корреляции будет положительным числом, когда при повышении X происходит повышение Y(прямо пропорциональная связь), отрицательным при обратно пропорциональной связи. На иллюстрации изображены различные по силе положительные коэффициенты корреляции.
На следующей иллюстрации видны специально сгенерированные формы зависимостей и коэффициенты корреляции для них.
Как видим, линейный коэффициент корреляции срабатывает лишь при линейном характере взаимосвязи переменных.
Формула
Общая формула:
Где xi и yi - сравниваемые количественные признаки, n – число сравниваемых наблюдений, σx и σy – стандартные отклонения в сопоставляемых рядах.
Для расчетов вручную используется преобразованная формула:
Несмотря на кажущуюся громоздкость формулы, она значительно облегчает ручной расчет.
Для расчетов в Excel используется функция ПИРСОН.
Иллюстрация расчетов:
Полученный коэффициент корреляции проверяется на значимость с помощью таблицы критических значений. Для этого вычисляем количество степеней свободы df=N-2 и на пересечении с необходимым уровнем значимости находим критическое значение коэффициента.
В нашем случае df=8, уровень значимости выбираем 0,1. Получаем критический коэффициент r=0.54. Так как 0,69 > 0,54 делаем вывод о значимой корреляции (r=0,69;p≤0,1).