88. Коэффициент затухания.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие колебания линейной системы описываются уравнением:

,                                                     (7.1.1)

г де   - коэффициент затухания,   - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания. Выражение коэффициента затухания через параметры системы зависит от вида колебательной системы. Например, для пружинного маятника   где r - коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления. Для затухающих колебаний в колебательном контуре (рис.7.1.1):  , где R - величина активного сопротивления контура.

Для решения уравнения (7.1.1) производится подстановка  . Эта подстановка приводит к характеристическому уравнению:

,                                         (7.1.2)

которое имеет два корня:

 ,   .                                   (7.1.3)

При не слишком большом затухании (при  ) подкоренное выражение будет отрицательным. Если его представить в виде  , где   - вещественная положительная величина, называемая циклической частотой затухающих колебаний и равная   , то корни уравнения (3) запишутся в виде:

 и  .                                                            (7.1.4)

Общим решением уравнения (7.1.1) будет функция:

                           (7.1.5)

которую можно представить в виде:

,      (7.1.6)

Здесь   и    - произвольные постоянные.

В соответствии с (7.1.6) движение системы можно условно рассматривать как гармоническое колебание частоты  с амплитудой, изменяющейся по закону:

.                     (7.1.7)

С корость затухания колебаний определяется коэффициентом затухания  . В соответствии с выражением (7.1.7) коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в «e»=2.718 раз.

89. Период затухающих колебаний

Период затухающих колебаний определяется формулой:

.                                                                    (7.1.8)

При незначительном затухании ( ) период колебаний практически равен  . С ростом   период увеличивается. Из соотношения (7.1.7) следует, что  . Такое отношение амплитуд называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм - логарифмическим декрементом затухания:

.                                                                        (7.1.9)

Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в «e» раз. Помимо рассмотренных величин для характеристики колебательной системы употребляется величина  , называемая добротностью колебательной системы. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз. Большим значениям добротности соответствует малое затухание. Энергия колебательной системы убывает со временем. Это обусловлено наличием затухания. При малом затухании, когда   энергия изменяется по закону:

,                                                                           (7.1.10)

где   - значение энергии в начальный момент.

Можно показать, что при слабом затухании добротность с точностью до множителя 2 равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент времени, к убыли этой энергии за один период колебаний.

С ростом  период колебаний увеличивается. При   период обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При    выведенная из положения равновесия система возвращается в него, не совершая колебаний.