3.6. Сила давления жидкости на плоскую поверхность

Определим силу давления жидкости на плоскую крышку площадью S, расположенную в плоской стенке сосуда (рис. 3.13). Стенка наклонена к горизонту под углом α. Рассмотрим наиболее простой случай, когда давление на свободной поверхности жидкости равно атмосферному. При этом на упомянутую крышку действует гидростатическое давление столба жидкости над ней, атмосферное давление на свободной поверхности жидкости и атмосферное давление со стороны, противоположной жидкости. Очевидно, что в этом случае необходимо учитывать только давление, создаваемое столбом жидкости, т.к. атмосферное давление на крышку действует с двух сторон. Выделим на крышке элементарную площадку dS, определим ее координату у и глубину погружения h. На эту площадку действует элементарная сила dF:

.(3.17)

Для определения силы давления F на крышку проинтегрируем полученное выражение по площади S:

. (3.18)

Интеграл представляет собой статический момент плоской фигуры площадью S относительно оси ОХ. Он равен произведению площади этой фигуры на координату ее цента масс у_с, т.е.

Тогда

, (3.19)

где h_c – глубина погружения центра масс крышки, м; S – площадь крышки, м².

Поскольку гидростатическое давление во всех точках крышки различно и увеличивается с увеличением h, то очевидно, что сила F будет приложена ниже цента масс крышки. Определим эту точку, называемую центром давления D. Воспользуемся теоремой из теоретической механики: момент равнодействующей силы относительно определенной оси (в данном случае относительно оси Х) равен сумме моментов составляющих сил, т.е.

, (3.19)

где у_D – координата центра давления, м.

Определим из уравнения (3.19) у_D, подставив значения F и dF из (3.17) и (3.19):

, (3.20)

где J_x – момент инерции плоской фигуры площадью S относительно оси Х: .

В справочниках по механике твердого тела для плоских фигур, как правило, приведены моменты инерции относительно центральных осей, поэтому определим момент инерции J_c относительно оси, проходящей через центр масс (точку С) и параллельной оси Х:

.

Подставим данное значение J_x в (3.20) и определим окончательную зависимость для расчета координаты центра давления у_D:

. (3.21)

Очевидно, что смещение центра давления относительно центра масс Δу равно: , тогда .

Если давление на свободной поверхности жидкости больше атмосферного, то необходимо учитывать это превышение (рис. 3.14). В этом случае сила F₁, вызванная столбом жидкости над крышкой, и ее координата y_D будут рассчитываться по формулам (3.19) и (3.21). Сила F₂, вызванная избыточным давлением р_{сп изб} на свободной поверхности жидкости, будет приложена в центре масс крышки и равна

. (3.22)

Модуль силы F будет равен: F= F₁ +F₂, а координату у_F точки приложения силы F можно определить с помощью упомянутой выше теоремы о моменте равнодействующей силы относительно определенной оси:

(3.23)