3.3. Равновесие жидкости в поле силы тяжести, основное уравнение гидростатики

В данном случае массовой силой является сила тяжести, а ускорением – ускорение свободного падения g. Расположим декартовы оси координат в покоящейся жидкости таким образом, чтобы ось Z была параллельна вектору g и направлена вертикально вверх (рис. 3.4). В данном частном случае, т.к. j_x=j_y=0 и j_z=-g, уравнение (3.10) примет вид:

(3.11)

Проинтегрируем уравнение (3.11):

(3.12)

Постоянную интегрирования С найдем из граничных условий на свободной поверхности жидкости: р=р_сп, а z=z_сп. Тогда С= р_сп + ρ g z_сп. C учетом этого запишем уравнение (3.12) в виде: или

(3.13)

г де h_пз= р/(ρg) – пьезометрический напор, м; h_г=z – геометрический напор, м.

Уравнение (3.13) является основным уравнением гидростатики: сумма геометрического и пьезометрического напоров для всех точек покоящейся жидкости есть величина постоянная.

Применительно к схеме на рис. 3.4 запишем уравнение (3.13) в следующем виде:

. (3.14)

Решим уравнение (3.14) относительно р₂:

. (3.15)

Для i-й точки, находящейся внутри жидкости, и точки, находящейся на свободной поверхности, уравнение (3.15) будет иметь вид:

. (3.16)

Зависимость (3.16) позволяет сформулировать основное уравнение гидростатики в другом виде: давление в любой точке внутри покоящейся жидкости равно давлению на ее свободной поверхности плюс давление, вызванное весом столба жидкости с единичной площадью основания и высотой, равной глубине погружения точки.

3.4. Физический смысл геометрического и пьезометрического напоров

Из школьной физики известно, что потенциальная энергия Е_п тела, поднятого на некоторую высоту z выражается формулой: Е_п=mgz. Потенциальная энергия, отнесенная к единице веса тела, называется удельной, т.е. е_п=z. Таким образом, геометрический напор z – удельная потенциальная энергия жидкости или удельная работа, которую могла бы совершить жидкость, находящаяся между точкой внутри жидкости с координатой z и свободной поверхностью, падая с высоты z.

Предположим, что баллон заполнен жидкостью под давлением (рис. 3.5). Жидкость с давлением р воздействует на поршень с элементарной площадью dS, к штоку поршня приложена сила сопротивления рабочего органа F_c. Под действием давления р поршень переместится на расстояние l, выполнив при этом работу А= p dS l. Удельная работа а, отнесенная к единице веса жидкости, будет равна:

Значит, пьезометрический напор р/(ρg) – удельная работа, которую могла бы совершить жидкость, находящаяся под давлением, или удельная потенциальная энергия давления.

Тогда, основное уравнение гидростатики можно сформулировать следующим образом: сумма удельной потенциальной энергии положения и удельной потенциальной энергии давления для всех точек покоящейся жидкости есть величина постоянная.