3.2 Системы отсчета давления

В зависимости от выбора начала отсчета численное значение одного и того же давления может быть разным. Давление, изменяемое от пустоты, называют абсолютным р_абс. В условиях Земли измерить такое давление достаточно сложно, т.к. необходимо создать пустоту, от которой нужно мерить. Поэтому в наземных машинах, механизмах и системах в качестве начала отсчета используют атмосферное давление р_атм. Атмосферное давление – гидростатическое давление воздуха на все находящиеся в нем предметы и земную поверхность, создаваемое притяжением атмосферы к Земле.

Давление, измеряемое от атмосферного называют избыточным р_изб. Очевидно, что избыточное давление может быть как положительным, так и отрицательным.

Если абсолютное давление меньше атмосферного, тогда избыточное давление будет отрицательным, называемое вакуумметрическим р_вак.

Рассмотрим графическую интерпретацию вышесказанного (рисунок 3.2). Если в какой то точке пространства (точка 1), заполненного жидкостью или газом, абсолютное давление будет больше, атмосферного, то избыточное давление будет положительным. Когда абсолютное давление будет меньше атмосферного (точка 2), то избыточное давление будет отрицательным.

Абсолютное, избыточное и вакуумметрическое давления связаны между собой уравнениями:

; (3.4)

. (3.5)

И звестно, что р_атм в условиях тропосферы из-за возникновения циклонов и антициклонов не является постоянной величиной, но колебания его не значительны. Поэтому, в технических расчетах объектов, находящихся примерно на уровне моря, принимают р_0атм = 1 · 10⁵Па. Атмосферное давление зависит от высоты над уровнем моря: чем больше высота, тем меньше р_атм. Данная зависимость описывается барометрической формулой:

, (3.6)

где р_hатм – атмосферное давление на высоте h (м) по отношению к уровня моря, Па; р_0атм – атмосферное давление на уровне моря, Па; е – основание натурального логарифма: е=2,718; M – молярная масса сухого воздуха: M =0,029 кг/моль; R_m – универсальная газовая постоянная: R_m=8,31 Дж/(моль∙К); T – абсолютная температура воздуха, К.

Данное явление необходимо учитывать при проектировании инженерных сетей для высотных зданий и сооружений.

3.3. Дифференциальные уравнения Эйлера равновесия жидкости

В покоящейся однородной жидкости расположим декартовы оси координат произвольным образом. В первом квадранте выделим элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz, параллельными соответствующим осям координат (рис. 3.3). Предположим, что жидкость в нем затвердела. Тогда на грани параллелепипеда действуют силы давления dF_1…6 от окружающей жидкости, а в его центре масс (точка О) приложена равнодействующая всех массовых сил dG. Для покоящейся жидкости dG является силой тяжести. При таких допущениях условия равновесия не нарушаются. Рассмотрим условия равновесия данного параллелепипеда для оси Х:

. (3.7)

О бозначим давление в центре масс параллелепипеда через р. Тогда в соответствии с уравнением (3.3) давление в точке приложения силы dF₁ (точка А) будет равно . Соответственно, давление в точке приложения силы dF₂ (точка В) давление будет равно . Так как площадь грани, на которую действует сила dF₁, бесконечно мала, то давление в точках А и В можно считать средним гидростатическим давлением, действующим на соответствующие грани. Тогда:

, а .

Равнодействующая всех массовых сил dG равна:

dG=ρ dx dy dz j,

где j – ускорение, вызванное силой dG.

Тогда проекция dG на ось Х будет иметь вид:

dG_х=ρ dx dy dz j_х.

Подставим соответствующие значения проекций сил в уравнение (3.7) и разделим на ρ dx dy dz. В результате получим:

Проведя аналогичные рассуждения для осей Y и Z получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера:

(3.8)

Для удобства практического использования вместо системы уравнений (3.8) получим одно эквивалентное уравнение. Для этого умножим первое уравнение системы (3.8) на dx, втрое – на dy , третье – на dz и сложим эти уравнения. В результате получим:

(3.9)

Трехчлен, находящийся в скобках, является полным дифференциалом давления dp (см. 3.3). С учетом этого уравнение (3.9) примет вид:

(3.10)

Уравнение (3.10) получено Эйлером в 1755 г. называют дифференциальным уравнением равновесия жидкости или основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме.

Уравнение (3.10) справедливо также и для газа при совместном использовании с уравнением Клапейрона – Менделеева (2.12).