5 Динамика жидкости и газа

5.1. Дифференциальные уравнения Эйлера движения идеальной жидкости

В потоке идеальной жидкости расположим декартовы оси координат произвольным образом. Так же, как и при рассмотрении равновесия покоящейся жидкости (см. п. 3.3), выделим в первом квадранте элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz, параллельными соответствующим осям координат (рис. 5.1). Предположим, что жидкость в нем затвердела. Тогда на грани параллелепипеда действуют силы давления dF_1…6 от окружающей жидкости, а в его центре масс (точка О) приложена сила тяжести dG. Параллелепипед движется со скоростью u. Составим уравнение движения данного параллелепипеда, используя принцип Д ' Аламбера. Уравнение движения параллелепипеда, спроектированное на ось Х, имеет вид:

, (5.1)

где m – масса параллелепипеда: m= ρ dx dy dz; а_Х – проекция ускорения параллелепипеда на ось Х: а_x = du_x/dt.

Проведя рассуждения, аналогичные подразделу 3.3, получим:

, а .

Равнодействующая массовой силы dG равна:

dG_x=ρ dx dy dz j,

где j – ускорение, вызванное силой dG.

Тогда проекция dG на ось Х будет иметь вид: dG_х=ρ dx dy dz j_х.

Подставим соответствующие значения проекций сил в уравнение (5.1) и разделим на ρ dx dy dz. В результате получим:

Проведя аналогичные рассуждения для осей Y и Z, получим дифференциальные уравнения движения жидкости:

(5.2)

Система уравнений (5.2) называется системой дифференциальных уравнений Эйлера движения идеальной жидкости. Эти уравнения справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости. При выводе уравнений (5.2) не накладывались условия стационарности движения, значит они справедливы и для неустановившегося движения.

Для удобства практического использования вместо системы уравнений (5.2) получим одно эквивалентное уравнение. Для этого умножим первое уравнение системы (5.2) на dx=u_x dt, втрое – на dy=u_y dt , третье – на dz=u_z dt и сложим эти уравнения. В результате получим:

. (5.3)

Трехчлен, находящийся в скобках, является полным дифференциалом давления dp (см. 3.3). Кроме того, u_x dx= d(u²_x/2), u_y dy= d(u²_y/2), u_z dz= d(u²_z/2), а d(u²_x/2)+ d(u²_y/2)+ d(u²_z/2)= d(u²/2). С учетом этого уравнение (5.3) примет вид:

(5.4)

Уравнение (5.4) называют дифференциальным уравнением Эйлера движения идеальной жидкости.

5.2. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости и потока вязкой жидкости

В элементарной струйке идеальной жидкости расположим декартовы оси координат таким образом, чтобы ось Z была параллельна вектору ускорения свободного падения g и направлена вертикально вверх. В данном частном случае j_x=j_y=0 и j_z=−g, уравнение (3.10) примет вид:

(5.5)

или

(5.6)

Проинтегрируем уравнение (5.6), в результате получим:

(5.7)

Зависимость (5.7) получена Д. Бернулли в 1738 г. и называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

В уравнении (5.7) h_пз= р/(ρg) и h_г=z, как и в уравнении (3.13) геометрический и пьезометрический напоры, соответственно, h_с= u²/(2g) называется скоростным или динамическим напором.

Таким образом, сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров для любых сечений элементарной струйки идеальной жидкости есть величина постоянная.

Как известно из подраздела 3.3, геометрический напор z – удельная потенциальная энергия жидкости, а пьезометрический напор р/(ρg) – удельная потенциальная энергия давления.

Известно, что кинетическая энергия Е_к выражается формулой: Е_к=mu²/2. Кинетическая энергия, отнесенная к единице веса тела mg, называется удельной, т.е. е_к= mu²/2g.

Тогда, уравнение (5/7) можно сформулировать следующим образом: сумма удельной потенциальной энергии положения, удельной потенциальной энергии давления и удельной кинетической энергии для любых сечений элементарной струйки идеальной жидкости есть величина постоянная.

Сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров называется полным напором или полной удельной энергией элементарной струйки (потока) в данном живом сечении, т.е.

(5.8)

Для вывода уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости введем понятие мощности потока. Мощность потока в определенном живом сечении – полная энергия, которую проносит поток через это живое сечение в единицу времени или работа, которую могла бы совершить жидкость, прошедшая через данное живое сечение за единицу времени.

Определим вначале мощность dN элементарной струйки в определенном живом сечении. Поскольку удельная энергия является энергией, отнесенной к единице веса жидкости, то

(5.9)

Мощность потока найдем путем интегрирования уравнения (5.9) по площади S:

(5.10)

Теоретически и экспериментально доказано, что для параллельноструйчатых или плавно меняющихся потоков гидростатический напор z+p/ρg есть величина, одинаковая для всех точек для всех точек определенного живого сечения потока, т.е. при движении элементарные струйки оказывают одна на другую в поперечном направлении такое же давление, как слои в покоящейся жидкости:

В дальнейшем будем рассматривать такие или близкие к ним живые сечения потока. С учетом этих допущений уравнение (5.10) примет вид:

(5.11)

Найдем среднее значение полной удельной энергии (полного напора) в данном живом сечении потока. С учетом зависимости (4.3) получим:

(5.12)

Умножим и разделим последний член уравнения (5.12)на квадрат средней скорости потока u²_ср:

где α – безразмерный коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей в живом сечении потока и равный:

(5.13)

Рассмотрим физическую сущность коэффициента Кориолиса. Для этого разделим и умножим зависимость (5.13) на ρ/2.

где е_кi – кинетическая энергия, которой обладает масса i-й элементарной струйки, прошедшая через данное живое сечение в единицу времени; Е_к.ср – кинетическая энергия, которой обладает масса потока жидкости, прошедшая через то же живое сечение в единицу времени, и подсчитанная по средней скорости.

Для ламинарного течения жидкости α_лам=2, для турбулентного α_турб=1,05…1,15 [1, с.102; 8,с. 140]. При турбулентном течении жидкости, чем выше число Рейнольдса, тем ближе к единице α_турб. Для Re > 10⁴ с достаточной степенью точности для технических расчетов можно считать α_турб=1. Различие в значениях α для ламинарного и турбулентного режимов течения жидкости связано с различными профилями скоростей при данных режимах (рис. 5.2). При ламинарном течении жидкости u_ср=0,5 u_mах, а при турбулентном – u_ср=(0,8…0,95) u_mах [2, с.55-57; 7, с. 46], поэтому такое различие в значениях α. Следует отметить, что для ламинарного режима величину α можно получить теоретически, используя уравнения параболы и кинетической энергии.

При движении вязкой жидкости, в отличие от идеальной, из-за неравномерного распределения скоростей происходит относительное скольжение слоев или частиц жидкости. Кроме того, во многих случаях происходит вихреобразование и перемешивание жидкости. Все это требует затрат энергии. Поэтому часть энергии, которым обладает поток жидкости, расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений и, следовательно, полная энергия потока уменьшается в направлении движения. Строго говоря, потерь энергии не наблюдается, а происходит преобразование части энергии потока в тепловую энергию, которая потом рассеивается в окружающем пространстве. Это преобразование является безвозвратным, поэтому и используется термин «потери полной энергии потока или полного напора».

Р ассмотрим два сечения потока вязкой жидкости 1-1 и 2-2 (рис. 5.3), полные напоры в этих сечениях равны Н_ср1 и Н_ср2. Тогда

(5.14)

где Σh_п – суммарные гидравлические потери полного напора между сечениями1-1 и 2-2.

Используя зависимость для расчета Н_ср, получим соответствующее уравнение:

(5.15)

П олученное уравнение (5.15) является уравнением Бернулли для потока вязкой жидкости. Данное уравнение применимо не только для жидкостей, но и для газов в тех случаях, когда скорость их движения значительно меньше скорости звука [3, с.47].

Графически уравнение Бернулли можно представить соответствующей диаграммой (рис. 5.4). В качестве примера рассмотрим потери напора при течении жидкости по горизонтальному трубопроводу, состоящего из трех участков различного диаметра. В начале трубопровода (сечение А-А) средний полный напор потока равен Н_срА. При движении жидкости от сечения А-А к сечению В-В происходит уменьшение полного напора, т.е. линия, характеризующая значение полного напора в любом сечении трубопровода (напорная линия), является падающей. Пьезометрический напор, в отличие от полного, в некоторых случаях может увеличиваться. Например, при внезапном расширении потока и, соответственно, уменьшении скоростного напора h_с происходит увеличение пьезометрического напора h_пз, т.е. Δh_с= u²_срА/(2g)- u²_срВ/(2g) переходит в пьезометрический напор.

При изменении геодезической высоты потока жидкости происходит изменение геометрического напора h_г=z, при этом геометрический напор переходит в пьезометрический напор и обратно. В потерянный напор переходит только пьезометрический напор, причем этот процесс является необратимым:

Уравнение Бернулли применимо не только для жидкостей, но и для газов в тех случаях, когда скорость их движения значительно меньше скорости звука и температура газа по длине не меняется (изотермический процесс) [1, с. 287-290; 3, с.47], т.е. при расчетах вентиляционных воздуховодов, газопроводов низкого давления.

В дальнейшем при проведении анализа физических явлений и процессов, связанных с движению потоков жидкости или газа, будем использовать, как правило, среднюю скорость. Поэтому для упрощения написания формул индекс ср опустим, подразумевая, что буквой u обозначается средняя скорость потока.