3.7. Закон Архимеда. Плавание тел

Описанный выше способ определения вертикальной составляющей силы давления на криволинейную поверхность можно использовать для доказательства закона Архимеда.

Рассмотрим силы, действующие на погруженное в жидкость тело произвольной формы (рис. 3.17).Спроектируем это тело на свободную поверхность жидкости и построим проектирующую цилиндрическую поверхность АБВГА'Б'В'Г', касающуюся поверхности тела. Соединим точки касания цилиндрической поверхности с поверхностью тела и получим кривую АБВГ, которая разделяет поверхность тела на верхнюю и нижнюю части. Также разделим тело аналогичным образом вертикальной плоскостью и получим кривую БДГИ. В результате тело оказывается разделенным на четыре части – I, II, III и IV. На наружные поверхности этих частей действуют соответствующие вертикальные F ^'_В1…4 и горизонтальные составляющие F ^'_Г1…4 сил давления. Очевидно, что горизонтальные составляющие F ^'_Г1 и F ^'_Г2 равны по модулю и противоположны по направлению (см. подраздел 3.6). Такой же вывод можно сделать и силах F ^'_Г3 F ^'_Г4. Таким образом, равнодействующая горизонтальных составляющих сил давления будет равна нулю.

Вертикальная составляющая силы гидростатического давления F ^'_В1 направлена вертикально вниз и равна:

.

Сила F ^'_В2 также направлена вертикально вверх и определяется зависимостью:

Равнодействующая сил F ^'_В1 и F ^'_В2 будет направлена вертикально вниз и равна

(3.32)

Проведя аналогичные выводы, получим зависимость для расчета F_В1. Эта сила будет направлена вертикально вниз.

(3.33)

Так как F _В1 > F ^'_В2, то равнодействующая сил F_В1 и F_В2 будет направлена вертикально вверх и равна

(3.34)

Объем V_АИВДБГ является объемом тела V_Т, погруженного в жидкость. Окончательно

(3.35)

Сила F_А называется силой Архимеда и является выталкивающей силой. Данное положение является законом Архимеда, который формулируется следующим образом: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, численно равная весу жидкости, вытесненной телом, направленная вертикально вверх и приложенная в центре масс вытесненного объема. Это современная формулировка закона. Во второй книге трактата «О плавающих телах» в предложении 7 Архимед сформулировал этот закон следующим образом: «Если более тяжелое, нежели жидкость, тело будет в нее помещено, то оно опустится на дно, и его вес в жидкости уменьшится на столько, сколько весит жидкость в объеме, равном объему тела». Кроме того, в постулате 2 он писал: «Мы предполагаем, что сила, которою плавающее в жидкости тело поддерживается, направлена вертикально вверх и проходит через его цент тяжести» [4, с. 353].

На данное тело действует также сила тяжести G (см. рис. 3.17). В зависимости от соотношения сил F_А и G возможны три случая положения тела:

- F_А > G – тело всплывает и плавает на поверхности жидкости в частично погруженном состоянии (вес жидкости, вытесненный погруженной частью тела, равен весу тела);

- F_А < G – тело тонет;

- F_А = G – тело плавает в полностью погруженном состоянии.

Приведенные выше выводы справедливы также для газа и используются при проектировании и строительстве воздушных шаров, дирижаблей и т.д.

Рассмотрим некоторые примеры решения задач по данной теме.

3.1 Избыточное давление природного газа в газовом стояке на десятом этаже равно р ^г_изб10=3,5 кПа. Определить избыточное давление газа на первом этаже р ^г_изб1, если высота этажа равна h_з = 3 м. Плотность газа одинакова по высоте стояка и равна _г = 0,6 кг/м³, а воздуха на первом этаже – _в = 7,29 кг/м³. Атмосферное давление на первом этаже р_атм1=0,1 МПа. Температура окружающей среды равна 20 ⁰С и одинакова на первом и десятом этажах.

Решение. Для решения задачи используем уравнение (3.15), считая вначале плотность воздуха одинаковой на первом и десятом этажах. В качестве начала отчета для давления в уравнении (3.15) примем пустоту, т.к. атмосферное давление на первом и десятом этажах различно и поэтому его нельзя использовать в качестве начала отсчета.

Определим атмосферное давление на 10-м этаже:

р_атм10= р_атм1 - _в g h_1-10=0,1∙10⁶-7,29∙9,8∙3∙10= 99785,7 Па.

Определим абсолютное давление газа на 10-м этаже:

р^г_абс10=р^г_изб10+р_атм10=3500+99785,7=103285,7 Па.

Определим абсолютное давление газа на 1-м этаже:

р^г_абс1=р^г_абс10 + _г g h_1-10==103285,7+0,6∙9,8∙3∙10=103109,3 Па.

Окончательно определим избыточное давление газа на 1-м этаже

р^г_изб1=р^г_абс1 - р_атм1=103109,3-100000=3109,3 Па≈3,11 кПа.

В действительности плотность воздуха на1-м и 10-м этажах различна, поэтому определим атмосферное давление на 10-м этаже с помощью барометрической формулы (3.20):

р_атм10= р_атм1∙е^{-gh1-10 /(RT)}= 0,1∙10⁶∙2,72^{-9,8∙30/(287∙293)}=99651 Па.

Проведя дальнейшие расчеты, аналогичные вышеприведенным, получим р^г_изб1≈3,33 кПа. Разница в расчетах по двум методикам составляет 6,4 %. Следует отметить, что расчеты по второй методике являются более точными.

3.2 Определить перепад давления на входе в топку печи, если высота дымовой трубы Н = 15 м. Плотность наружного воздуха _в = 1,27 кг/м³, плотность дымовых газов _д = 0,83 кг/м³.

Решение. Для решения воспользуемся уравнением (3.15). Перепад давления на выходе из печной трубы примерно равен нулю, т.е. давление воздуха и дымовых газов на выходе будет примерно равным: р_в.вых  р_д.вых.

давление воздуха и дымовых газов на входе в топку будет равно, соответственно: р_в.вх = р_в.вых + _в g Н и р_д.вх = р_д..вых + _д g Н.

Тогда перепад давления на выходе в топку печи будет равен:

р = р_в.вх - р_д.вх = = g Н (_в - _д) = 9,815(1,27 – 0,83) = 64,7 Па.

3.3 В канале прямоугольного сечения шириной B=3 м установлен плоский затвор (рис.3.18). Каким должен быть вес груза G, чтобы при наполнении канала водой на глубину H=4 м затвор открылся. Масса затвора равна m=50 кг, а коэффициент трения в направляющих затвора f=0,3.

Решение. Определим силу давления жидкости на затвор:

F=ρ g h_c S= ρ g B H H/2= ρ g B H²/2=10³∙9,8∙3∙4²/2=176,4∙10³ Н.

Затвор начнет открываться, когда вес затвора превысит сумму силы трения затвора в направляющих и вес затвора, т.е.

G_г> G_з+F_тр=m g+F f=50∙9,8+176,4∙10³∙0,3=53,41∙10³ Н=53,41 кН.