Тема 1.2. Центр ваги.

План лекції

1. Центр паралельних сил, його властивості.

2. Визначення координат центру паралельних сил.

3. Сила ваги тіла, як центр паралельних сил.

4. Координати центру ваги тіла для об’єму, тонкої однорідної пластини, лінії.

5. Координати центру ваги складних фігур.

С/Р 6. Стандартні профілі прокату

1. Центр паралельних сил, його властивості.

Центр ваги - незмінно пов'язана з твердим тілом точка, через яку проходить рівнодійна сил тяжіння, діючих на частки цього тіла при будь-якому положенні тіла в просторі.

У однорідного тіла, що має центр симетрії (круг, куля, куб і т. д.), центр тяжіння знаходиться в центрі симетрії тіла. Положення центру тяжіння твердого тіла співпадає з положенням його центру мас.

Центр паралельних сил

Розглянемо паралельні нерівні між собою сили і в системі координат Oxyz, де точки прикладання цих сил А і В визначаються радіусами-векторами і відповідно. Радіус-вектор визначає точку С прикладання рівнодіючої даних сил (рис.1.28). Тоді на підставі рівняння (1.32) можна записати, що . Але і . Отже:

, звідки: .

Якщо узагальнити отриманий результат на систему паралельних сил , то отримаємо, що:

Це рівняння визначає положення центра паралельних сил у векторній формі.

2. Визначення координат центру паралельних сил.

Координати центра паралельних сил обчислюють через проекції радіуса-вектора на осі координат:

x_с = Σ (G_i x_i) / ΣG_i

y_с = Σ (G_i y_i) / ΣG_i

z_с = Σ (G_i z_i) / ΣG_i

G_i –сила тяжіння кожної елементарної частка тіла

x_i , y_i , z_i - координати частки

ΣG_i - сила тяжіння всього тіла

3. Сила ваги тіла, як центр паралельних сил.

Сила з якою тіло притягується до землі, називається силою тяжіння.

Центром ваги тіла називають центр системи паралельних сил, яку наближено утворюють сили ваги його елементарних частинок.

Центр тяжіння є геометрична точка, яка може лежати поза тілом (наприклад, кільце, циліндр з отвором).

4. Координати центру ваги тіла для об’єму, тонкої однорідної пластини, лінії.

Для об’єму: x_с = Σ (V_i x_i) / Σ V_i

Для площі тонкої однорідної пластини: x_с = Σ (F_i x_i) / Σ F_i

Для лінії: x_с = Σ (l_i x_i) / Σl_i

5. Координати центру ваги складних фігур.

1. Центр тяжіння дуги кола. Розглянемо дугу АВ радіусу R з центральним кутом . В силу сімметрії центр тяжіння цієї дуги лежить на осі Ox

Знайдемо координату Хс по формулі .

Для цього виділимо на дузі АВ елемент ММ' завдовжки , положення якого визначається кутом . Координата х елементу ММ' буде . Підставляючи ці значення х і і маючи на увазі, що інтеграл має бути поширений на всю довжину дуги, отримаємо:

где L - длина дуги АВ, равная . Отсюда окончательно нахо­дим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном

де кут вимірюється в радіанах.

2. Центр тяжіння площі трикутника. Розіб'ємо площу трикутника

ABD прямими, паралельними AD, на вузькі смужки; центри тяжіння цих смужок лежатимуть на медіані BE трикутника.

Отже, і центр тяжіння усього трикутника лежить на цій медіані.

Аналогічний результат виходить для двох інших медіан. Звідси робимо висновок, що центр тяжіння площі трикутника лежить в точці перетину його медіан. При цьому, як відомо

3. Центр тяжіння площі кругового сектора. Розглянемо круговий

сектор ОАВ радіусу R з центральним кутом. Розіб'ємо подумки площу сектора ОАВ радіусами, проведеними з центру О, на п секторів. У межі, при необмеженому збільшенні числа, ці сектори можна розглядати як плоскі трикутники, центри тяжіння яких лежать на дузі DE радіусу . Отже, центр тяжіння сектора ОAB буде зівпадати з центром тяжіння дуги DE. Остаточно отримаємо, що центр тяжіння площі кругового сектора лежить на його центральній осі симетрії на відстані від початкового центру О, дорівнює