20. Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами r, l и с (резонанс напряжений)

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе це­пи с входным напряжением. При резонансе в электрической цепи малые напряжения, приложенные к цепи, могут вызвать значительные токи и напряжения на отдельных участках. Резонанс в электрической цепи сопровождается периодическим переходом энергии электрического поля емкости в энергию магнитного поля и наоборот.

Р азличают два вида резонансных состояний: резонанс напряжений и резо­нанс токов. В цепи, где R, L, С соединены последовательно, может возникнуть резонанс напряжений, а в цепи, где R, L, С соединены параллельно, – резонанс токов.

Рассмотрим явление резонанса напряжений на примере цепи (рис. 34). Резонанс напряжений наблюдают в цепи при последовательном соедине­нии элементов R, L и C. Для цепи рис.87 имеет место

,

где , .

В зависимости от соотношений величин и возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. X_L > X_C, > , угол φ > 0, . Ток отстает от напряжения на угол φ. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 88 а).

2. Для варианта X_L < X_C угол φ < 0, . Ток опережает напряжение на угол φ. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 88 б).

3. Для варианта X_L = X_C угол φ = 0, . Ток совпадает с напряжением. Цепь имеет активный характер. Полное сопротивление Z=R наименьшее из всех возможных значений X_L и X_C. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 88 в). Этот режим называется резонанс напряжений ( ). Напряжения на элементах U_L и U_C могут значительно превышать входное напряжение

Как отмечалось, при резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, т.е. угол = 0, и полное сопротивление цепи равно ее активному сопротивлению:

Z = R= j ( X_L– X_C) =R или .

Это равенство будет иметь место, если X_L = Х_С, т. е. реактивное сопротивление цепи равно нулю: X = X_L – Х_С=0.

Выразив X_L и Х_С соответственно через L, С и, получим:

, откуда или ,

где f –частота напряжения, подведенная к контуру, f_рез – резонансная частота.

Пример. Пусть, например, в цепи на рис.87

U = 220 B, f = 50 Гц, R = 22 Ом, L =  350 мГн, С =  28,9 мкФ.

Тогда: X_L = ωL = 2πf L = 2 · 3,14 · 50 · 0,35 = 110 Ом;

X_C = 1 / ωC = 1 / (2πf C) = 110 Ом;

Z = R = 22 Ом, φ=0, I = U / R = 220 / 22 = 10 А, ψ_u = ψ_i;

U_L = U_C = I X_L = 10 · 110 = 1100 В.

В приведенном примере U_L и U_С превышают входное напряжение в 5 раз.

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий остается постоянной.

Р езонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 89 приведены типовые кривые I(f),U_L(f) и U_С(f) для цепи на рис.87 при U=const.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q:

.

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление: .