Условие задачи

Определить площадь поперечных сечений стальных стержней, удерживающих абсолютно жесткую балку (рис.2,а), если []=160 мПа; l=a=1м; F=100кН. Площадь A поперечных сечений стержней одинакова.

Р

Дано: []=160 мПа; l=a=1м; F=100кН. Найти: A - ?

ешение

Рис.2 Заданная схема, расчетная схема, перемещения к примеру № 2

I. Задача один раз статически неопределима, так как неизвестных четыре: R_z, R_y, N₁, N₂ (рис.2,б), а уравнений статики три.

II. Уравнение статики: М_O = 0; М_O = ;

III. Картина перемещений изображена на рис.2,в, по которой находится, из подобия OBB₁ и OСС₁, зависимость между относительным удлинением и укорочением стержней l₁ и l₂ (которые совпадают с перемещениями балки ₁ и ₂) и длинами OB и OC:

, где .

IV. Из зависимости между l₁, l₂ и OB, OC находим:

,

откуда имеем: N₁ = 0,4N₂; используя эту зависимость решаем уравнение статики:

;

; .

5. Продольные силы в стержнях 1и 2 численно равны силам N₁ и N₂:

.

.

VI. Определяем площадь поперечных сечений стержней, исходя из условия прочности:

;

;

VII. Определяем размеры поперечных сечений стержней, исходя из их геометрической формы.

Квадрат: ;

.

К руг: ;

.

П рямоугольник: ; ;

;

;

Д ва неравнобоких уголка: ;

;

Из сортамента прокатной стали

ГОСТ 8510-72 принимаем номер профиля 4/2,5; ; ; ; .

Пример 3.

Условие задачи

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис.7). Подобрать, указанный в таблице профиль поперечного сечения этих стержней при заданном допускаемом напряжении.

Дано: F = 400 кН; a = 2,4 м; b = 1,5 м; c = 2,6 м; σ_adm=100 МПа.

Профиль поперечного сечения имеет форму квадрата.

Рис.7

Решение

1. Определение усилий в стержнях.

Для определения величин усилий в стержнях применим метод сечений. Сделав сечение по всем стержням и приложив в местах сечений усилия N₁ и N₂ , возникающие в стержнях, рассмотрим равновесие остав­шейся части, нагруженной продольными усилиями в тягах N₁ и N₂ , реакциями опоры А (X_A и Y_A) и силой F (рис.8).

Рис.8.

Составим уравнения равновесия статики для оставшейся части, учитывая, что длина стержня 1

,

а получим:

1) ∑F_X = 0, - X_A + N₁ · cos α= 0; (1)

2) ∑F_Y = 0, Y_A – F – N₁ · sin α +  N₂  = 0; (2)

3) ∑M_A = 0, - F ·a – N₁ · sin α ·(a+b) + N₂ · (a+b+c) = 0. (3)

Из уравнений равновесия видно, что система стати­чески неопределима, т.к. три уравнения равновесия содержат в своем составе четыре неизвестных. Поэтому для реше­ния задачи необходимо составить дополнительное уравнение совместных деформаций, раскрывающее статическую неопреде­лимость системы.

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим де­формированное состояние системы, имея в виду, что брус абсолютно жесткий и поэтому после деформации стержней останет­ся прямолинейным (рис.9).

Рис.9.

Эти дополнительные уравнения совместности деформаций по­лучим из подобия треугольников ∆АСС₁ и ∆АBB₁:

,

Решая это уравнение, получим:

(4)

.

Выразив деформации стержней по формуле определения абсолютной продольной деформации:

(5)

(6)

и подставив эти значения в уравнение деформации (4), получим:

(7)

Подставив найденное значение N₂ в уравнение равновесия моментов определяем величину N₁:

-F ·a – N₁ · sin α ·(a+b) + 3,33N₁ · (a+b+c) = 0;

Зная N₁, из уравнения (7) находим N₂: N₂=3,33·50,5=168,2 кН

2. Определение размеров профиля.

Для определения размеров поперечного сечения стержней используем условие прочности при растяжении.

Определяем площади поперечных сечений стержней:

, А=А₁=5,05 см²

, А=А₂/2 =8,41см²

Принимаем большее значение А= 8,41 см²

Для подбора размеров сечений квадратного профиля учитываем соотношение их площадей исходя из условия задачи.

Ответ: первый стержень – стороны квадрата равны 2,9×2,9 (см²)

второй стержень - стороны квадрата равны 4,1×4,1 (см²)