Лекции по

Математическому анализу

8 факультет

2 курс 3 семестр

Лектор:

Иванова Е.П.

Набор:

BobicZdoh

2006 г.

Интеграл Римана на -мерном промежутке. 3

Необходимое условие интегрируемости по Риману. 4

Лебегова мера ноль 4

Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману. Верхние и нижние суммы Дарбу. 5

Интеграл по множеству. Допустимые множества 6

Общие свойства интеграла 7

Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини. 8

Замена переменных в кратном интеграле. Формула Грина. 9

Геометрический смысл модуля якобиана отображения. 11

Приложения кратных интегралов. 12

Дифференциальная геометрия 13

Векторная функция скалярного аргумента. 13

Касательная как предел секущей. 14

Длина кривой. Спрямляющая кривая. Натуральная параметризация. 14

Основной трёхгранник кривой. Формулы Френе. 15

Геометрический смысл величин k и æ. 16

Вид кривой вблизи произвольной точки. 17

Поверхности и дифференциальные формы в 17

Поверхность в Евклидовом пространстве 17

Ориентация поверхности. 18

Край поверхности и его ориентация. 20

Согласование ориентации поверхности и её края 20

Касательное пространство к поверхности 21

Касательная к поверхности в 21

Площадь поверхности в Евклидовом пространстве 22

Площадь поверхности в 24

Первая квадратичная форма поверхности 24

Длина кривой на поверхности 25

Алгебра форм 25

Алгебра кососимметрических форм 27

Дифференциальные формы 29

Координатная запись дифференциальной формы. 29

Дифференциальные операторы векторного анализа. Их связь с дифференциальными формами. 31

Перенос форм при отображениях 32

Координатная запись форм, возникающих при переносе. 33

Криволинейные и поверхностные интегралы. 34

Интегралы от формы работы, потока. Форма объёма. 35

Интегралы I и II рода. 38

Общая формула Стокса 38

Элементы векторного анализа 38

Дифференциальные операции векторного анализа. 38

Формула Ньютона-Лейбница 39

Формула Стокса 40

Формула Остроградского-Гаусса 40

Геометрическая интерпретация ротора и дивергенции. 40

Потенциальные поля 41

Замкнутые и точные формы 42

Соленоидальные поля 42

Кратные интегралы.

Интеграл Римана на -мерном промежутке.

Опр.: называется промежутком в , если:

Опр.: Промежутку ставится в соответствие число , которое называется мерой промежутка.

Лемма:

Мера промежутка удовлетворяет следующим свойствам:

1. она однородна:

2. адитивность:

3)

4)

Разбиение промежутка

Опр.:

Прямое произведение разбиения сторон индуцирует разбиение всего промежутка.

Опр.: Отмеченные точки

- разбиение промежутка

Для каждого промежутка выбираем отмеченную точку

Опр.: Мелкость разбиения – число

Опр.: Разбиение с отмеченными точками:

Интегральная сумма.

Опр.:

Пусть на интервале задана функция , тогда сумма носит название «интегральная сумма».

Опр.: -мерный интеграл Римана:

Если этот предел существует, тогда функция называется интегрируемой по Риману на -мерном промежутке .

Класс функций, интегрируемых по Риману на промежутке , обозначается .

Кратный интеграл.

Необходимое условие интегрируемости по Риману.

ограничена на .

Док-во:

. Предположим, что функция не ограничена на хотя бы на одном из промежутков разбиения она будет не ограниченной.

Выбирая произвольным образом отмеченные точки и мы можем получить:

. Таким образом нарушается критерий Коши сходимости интегральных сумм - противоречие.

Лебегова мера ноль

Опр.: Будем говорить, что множество имеет -мерную меру ноль в смысле Лебега, если не более чем счётная система интервалов .

1. Точка является множеством меры ноль.

2. Объединение конечного, либо счётного числа множеств меры ноль есть множество меры ноль.

3. Подмножество множества меры ноль – множество меры ноль.

4. Невырожденный -мерный промежуток не является множеством меры ноль.

Опр.: Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всюду, если оно выполняется всюду, кроме быть может множества меры ноль.

Утв.: График непрерывной функции имеет -мерную меру ноль.

Если:

То:

Док-во:

равномерно непрерывна на

Строим разбиение . Отмечаем точки разбиения .

Строим промежуток

.

Следствие:

Если:

То: график на имеет -мерную меру ноль.(Т.к. )

Замечание:

1. Если в определении меры ноль заменить замкнутые промежутки открытыми, то определение останется эквивалентным.

2. Если - компакт, то в определении можно заменить счётную систему конечной.

Th.: Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.

Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману. Верхние и нижние суммы Дарбу.

Опр.:

разбиение промежутка

верхняя сумма Дарбу

нижняя сумма Дарбу

Лемма:

1.

2. Если: разбиение получается измельчением разбиения ,

То:

3.

Док-во:

, далее для выписываем пункт 2.

Опр.:

Нижний интеграл Дарбу

Верхний интеграл Дарбу

Th.: Теорема Дарбу

ограничена на

Th.: Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману.

и ограничена на .

Док-во:

ограничена, и выполнен пункт 1 Леммы. Далее – используем определения верхнего и нижнего интегралов.

Используя пункт 1 Леммы и лемму о двух ментах и бомже.

Интеграл по множеству. Допустимые множества

называется допустимым, если оно ограничено и его граница имеет -мерную лебегову меру ноль ( ).

Пр.: Куб, сфера и пр.

Лемма.

:

1. замкнуто в

2.

3.

4.

Замечание:

Для бесконечного числа множеств это не верно.

Следствия:

1. Граница допустимого множества – компакт.

2. Объединение, пересечение и разность конечного числа допустимых множеств - допустимое множество.

3. из его покрытия системой открытых множеств можно выделить конечное покрытие, такое что:

Опр.: Говорят, что множество имеет жорданову меру ноль ( ), если:

Замечание:

Для границы множества жорданова мера ноль эквивалентна лебеговой.

Опр.: Характеристической функцией множества называется функция:

Замечание:

-допустимо почти всюду непрерывна (т.к. )

Интеграл по множеству.

Опр.:

Опр.:

Мерой Жордана допустимого множества называется интеграл по этому множеству от единичной функции:

Утв.: существуют или не существуют одновременно, а если существуют, то равны.

Док-во:

Функция отлична от нуля только внутри ( - носитель функции ) множество точек разрыва принадлежит отличаются нулевыми слагаемыми.

Th.: Критерий Лебега интегрируемости функции по множеству.

Геометрический смысл меры Жордана

- допустимое множество,

Нижняя интегральная сумма Дарбу есть сумма объёмов промежутков, целиком принадлежащих множеству .

Верхняя интегральная сумма Дарбу есть сумма объёмов промежутков, имеющих с множеством общие точки.

Опр.:

1. Если существует предел нижних сумм Дарбу, то он называется внутренней мерой Жордана.

2. Если существует предел верхних сумм Дарбу, то он называется внешней мерой Жордана.

3. Если внешняя и внутренняя меры Жордана совпадают, то множество называется измеримым по Жордану.

Утв.:

- измеримо по Жордану