12.Замена переменных в двойном интеграле

Пусть на плоскости ХОУ задана область, ограниченная линией L. Предположим, что осуществляется замена переменных: x=x(u;v), y=(u;v) (*), причем функции x(u;v) и y(u;v) взаимно однозначны и дифференцируемы в области D.

Тогда формулы (*) устанавливают взаимооднозначное соответствие между точками (x;y) D и (u;v) D'.

Прямым y=const и v=const на плоскости ХОУ будут соответствовать некоторые кривые, поэтому координаты u и v называют криволинейными.

Разобьем область D' на прямоугольные площадки прямыми y=const и v=const, тогда область D с соответствующими кривыми разобьется на четырехугольники: (•)ка P₁(x(u;v); y (u;v)); P₂ (x(u;v+ ); y(u;v+ )); P₃ (x(u+ ;v+ ); y(u+ ;v+ )); P₄ (x(u+ ;v); y(u+ ;v))

Заменим приращение функции их дифференциалами, пренебрегая бесконечно малыми величинами. Тогда P₁(x(u;v); y (u;v)); P₂ (x(u;v)+ ; y(u;v)+ );

P₃ (x(u;v)+ ; y(u;v)+ ); P₄ (x(u;v)+ ; y(u;v)+ )

Заметим, что векторы ( ) и ( ) равны, значит наше допущение позволяет считать прямоугольник P₁P₂ P₃ P₄ параллелограммом.

Найдем его площадь:

=

= =

=

Опр.1

Определитель I= называется Якобианом данных функций x(u;v) и y (u;v)

Т.о. Очевидно, что если max размеры площадок стремятся к 0,то lim =

Max диаметры площадок, т.е. наибольшее расстояние между точками

Поэтому

Т.о.

Двойной интеграл в полярных координатах

Напомним, что полярные координаты задаются осью и точкой на ней (полюсом). Положение любой точки плоскости характеризуется двумя координатами: расстоянием  от точки до полюса и углом наклона  радиус-вектора точки к полярной оси. Если ось x выбрать совпадающей с полярной осью, а ось у провести через полюс, то формулы перехода от декартовых координат к полярным следующие: x= cos ; y= sin .

I= = = =

Если область D правильная относительно полюса, т.е. любой луч, исходящий из полюса пересекает границу области не более чем в двух точках, то ее можно изобразить так:

B

M

N

AN – линия входа =₁()

M

M

BN – линия выхода =₂()

A

₂

₁

O

13.Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов

В геометрии используются следующие свойства двойного интеграла:

– площадь области

- объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z= , снизу – областью D и вертикальными образующими.

14. Механические приложения двойного интеграла

В геометрии используется след. св-ва дв. интеграла: ;

С точки зрения механики -масса пластинки D с плотностью .

Опр.1 Статическим моментом материальной точки относительно оси наз. произведение массы точки на расстояние до оси:

если точка М(х;у) имеет массу m, то =my; =mx.

Опр. 2 Стат. моментами и системы мат. точек относит. осей Ох и Оу наз. выражение ; .

Для определения стат. моментов плоской области D ее разбивают произвольным образом на элементарные площадки , каждую из которых считают однородной с плотностью , где . Затем элементарную фигуру с массой = . Тогда , а . Переходя к пределу при получим ; .

В механике важную роль играет понятие центра тяжести (центра масс)-точки, в которой «сосредоточена» вся масса тела.

Опр. 3 Центром масс плоской фигуры D называется такая точка C( ), что =М ; =М .

Из опр.3 следует, что ; . Т.о. ; . Если однородная фигура имеет ось симметрии, то центр масс лежит на этой оси.

Моменты инерции определяются аналогично стат. моментам, только вместо расстояния до оси фигурирует квадрат этого расстояния. Поэтому для плоской пластинки D с плотностью моменты инерции находятся по формулам: = ; = ; = - момент инерции относительно начала координат.