5. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
Теорема о непрерывности суммы сходящегося функц. ряда:
Если функ-ый ряд
(*) с непрерывн.
членами сходится равномернов области
D,
то его сумма непрерывна на D.
Следствие:
в равномерно сходящемся ряду с непрерыв.
членами возможен переходк пределу:
Теорема о почленном интегрировании:
Если функциональный
ряд (*) с непрерыв. членами сходится
равномерно ф-ции S(x)
на [a;b]
, то его можно почленно интегрировать
на любом отрезке [x0;x]
[a;b]
и справедливо:
Теорема о почленном дифференцировании:
Если ряд (*)
с непрерывно дифференцируемыми на [a;b]
членами сходится к ф-ии S(x),
а ряд
– сходится равномерно на [a;b],
то ряд (*) сход. Равномерно на [a;b]
и его сумма S(x)
– непрерывно дифференцируема, причём
6. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
Определение 1
Ряд вида
, где an,
x
R,
наз. степенным рядом по степеням
. При α=0 получаем ряд
(*) по степеням x.
Т.к.
любой ряд можно свести к виду (*), то в
дальнейшем будем рассматривать только
такие ряды. При х=0 степенной ряд (*)
сходится.
Теорема Абеля:
Если степенной ряд (*) сходится в т. X0≠0, то он сходится абсолютно в интервале (-|X0|;|X0|) и сходится равномерно на любом отрезке [-q;q], где 0<q< X0
Определение 2:
Радиус сходимости
степенного рядо – это такое число R
что ряд сход. в (-R;R)
и расходится
Если ряд сходится только в точке X=0, то R=0. Для нахождения радиуса сходимости используют признак Доламбера и Коши.
Теорема:
Если радиус сходимости степенного ряда ≠0, то его сумма не прерывна в (-R;R)
Теорема:
Операции почленного интегрирования и дефференцирования степ. ряда не меняют его радиус сходимости.
7. Ряды Тейлора и Маклорена
Пусть функция
y=f(x)
имеет в окрестности точки х0
производную любого порядка. Поставим
в соответствие степенной ряд f(x)
→ f(х0)
+ f’(х0)
(x-
х0)
+
(x-x0)2
+
(x-x0)n+
… =
(*)
Ряд (*) называется рядом Тейлора в окрестности точки х0 функции f(x).
Если х0=0
то ряд Тейлора f(x)
→ f(0)
+ f’(0)x
+
x2
+
xn
+ … называется рядом Маклорена.
Радиус сходимости степенного ряда (*) может быть =0 или ≠0.
Причем в последнем случае сумма ряда может не совпадать с функцией f(x)
Важно знать S(x) = f(x).
Теорема 1 (Достаточный признак разложимости функций ряда Тейлора)
Если в некоторой окрестности (х0 –R; х0 +R) точки х0 все производные функции f(x) ограничены одной константой, то ряд сходится в функции f(x) в данной окрестности.
При условиях Т.1 ряд Тейлора сходится в функции для которой он составлен.
8. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора
f(x)=
f’(x)=
;
f’(0)=
f’’(x)= ; f’’(0)=
(x)=
;
(0)=
f(0)=1
Поскольку
для любого х
,
то для любого
Если α=n
,
то все члены последнего ряда начиная с
(n+1)
будут равны, в этом случае биноминальный
ряд преобразуется в Бином Ньютона.
