1.Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства числовых рядов. Сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии

Пусть а(n)=а₁,а₂… - числовая последовательность. Выражение вида а₁+а₂+…+а_n = ∑_n=1^∞a_n – называется числовым рядом, числа а₁, а₂ … - члены ряда. а_n – общий член ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда ∑_k=1^∞a_k : a₁ + a₂ +…+ a_k – называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается S_n

Если последовательность (S_n )имеет конечный предел S, то это число называется суммой ряда, а ряд – сходящийся. Если предел бесконечен или не существует, то ряд – расходящийся.

Пример 3. Рассмотрим вопрос о сходимости ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии.

b₁+ b₁q+ b₁q²= b₁≠0

1. если модуль q=1

b ₁+b₁+b₁+…+b₁ ; S_n=b₁+…+b₁=n*b₁

n

- Ряд расходиться

2. если модуль q= -1

ряд расходиться

3. Если модуль q≠0

S_n=

Ответ: ряд сходиться при (S_n= ) и расходиться при ≥1.

Для числового ряда сумма ∑_k=1^∞a_k выражение a_k1+a_k2+…=∑_k=n+1^∞a называется n-м остатком ряда. Для сходящегося числового ряда ∑_k=1^∞a_k=∑_k=1ⁿa_k +∑_k=n+1^∞a_k = S_n+r_n.

Можно сказать, что последнее условие является не только необходимым , но и достаточным признаком сходимости ряда.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда):

если ряд -сходиться, то . Пусть тогда

Теорема (достаточный признак расходимости):

если предел , то ряд расходиться.

Простейшие свойства сходящихся числовых рядов:

1. Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

2. Если ряды и сходятся, то ряд сходиться и его сумма .

д-во:

3. Если ряд сходиться к числу S, то ряд сходиться к числу , где . Док-во аналогично св-ву 2.

Операции суммирования рядов и умножения рядов на число называются линейными.

2. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Если дан ряд _n c неотрицательными членами, то последовательность его частичных сумм является неубывающей. Необходимы и достаточным признаком такой последовательности является ее ограниченность. Отсюда следует

Теорема1. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Теорема2. Интегральный признак. Если неотрицательная интегрируемая на промежутке от 1 до +∞ функция f(x) монотонно убывает и члены ряда _n имеют вид a_n=f(n) то ряд _n и сходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости ≤ _n ≤ _n

Теорема3. Признак сравнения. Если для ряда _n и _n с неотрицательными членами выполняется неравенство a_n≤b_n для любого nϵN , то из сходимости 2ого ряда следует сходимость 1ого, а из расходимости 1ого следует расходимость 2ого.

Док-ва: Пусть _n=b

_n=a

Сумма _k=S_k , _k=S_n′

1) Если _n сходится, то (S_n) ограничена и поэтому ряд _nc_x cходится.

2) Если _n расходится то S_ni′ неограниченa =› S_u′-неограненa =› _n –расходится.

Теорема4. Предельный признак сравнения. Если для знакоположительных рядов _n и _n существует конечный предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Замечание: для того чтобы применить m3 и m4 нужно догадаться с каким рядом сравнивать. Обычно этот ряд из членов геометрической прогрессии или ряд Дирихле. Ряд Дирихле выбирают из дробей с наивысшими степенями неизвестной числителя и знаменателя.

Теорема5. Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда _n существует

_n+1/ _n =L, то при L 1 рад сходится, а при L ряд расходится

Замечание: При L=1 теорему 5 применить нельзя.

n!=1∙2∙3∙4∙…∙n 0!=1.; 1!=1∙1=1; 2!=1∙2=2

Теорема6. Признак Коши. Если для знакоположительного ряда _n существует предел _n , то при L ряд сходится, при L ряд расходится.

Замечание. Можно показать, что если существует предел _n+1/ _n , то существует _n и они равны. Обратное утверждение не всегда имеет место. Значит признак Коши сильнее признака Даламбера.