Конспект лекції Плоский і об'ємний напружені стани

В процесі роботи механізмів і конструкцій часто зустрічаються ви­ди навантажень, за яких у точці реалізується плоский або об'ємний на­пружений стан. Розглянемо спочатку плоский напружений стан. Для цього в області досліджуваної точки умовно виріжемо елемент і розмістимо його так, як показано на рис.3.11. Нехай на бічних гранях виділеного елемента діють головні напруги у₁ і у₂ .Знайдемо нормальні і до­тичні напруги на площині, нормаль n_б до якої в напрямом осі х /або у₁ / утворюється б, а з віссю у /або у₂ /- кут б_2. В подальшому викладі будемо називати її б площадкою. На цій площадці діють нормальні у_б і дотичні А_б напруги, які залежать від у₁ і у₂ . Згідно з принципом суперпозиції за формулою /3.6/

то, опускаючи індекс у позна­ченні кута, рівняння /3.9/ переписуємо у вигляді

Міркуючи аналогічно з допомогою формули /3.7/ визначаємо дотичну напругу на б - площадці:

Рис. 3.11. Схема до визначення напруг у_б і А_б при плоскому напруженому стані

Спростивши вираз і врахувавши, що б₁ = б , отримаємо

/3.11/

Слід пам'ятати, що у формулах /3.10/ і /3.11/ б - це кут, який відлічується від осі, вздовж котрої дів максимальна напруга, тоб­то у_1.

Користуючись формулами /3.10 / і /3.11/, знайдено нормальні і до­тичні напруги на площині, перпендикулярній до б - площадка. Позначимо таку площину в - площадкою /рас.3.12/, а нормальні і до­тичні напруга на ній відповідно у_в і А_в .Нормаль до в - площадки позначимо n_в. Кут, що утворює нормаль з віссю х /або з напрямом дії напруги/ буде кутом в . Тоді за формулою /8.10/ отримаємо у_в = у₁ cos² в + у₂ sin²в. А оскільки в = б + 90⁰ , то після підстановка дістанемо

/3.12/

Рис.3.12.Схема до визначення напруг у_в і А_в при плоскому напруженому стані.

Аналогічно одержимо розра­хункову формулу для дотичних напруг:

Для встановлення власти­востей напруженого стану на взаємно перпендикулярних пло­щадках, які проходять через досліджувану точку, проведемо аналіз отриманих формул /3.10/ - /3.13/.

Очевидно, що якщо додати формули /3.10/ і /3.12/, то одержимо:

Таким чином, при повороті елемента навколо осі, перпендикулярної площині рисунка, сума нормальних напруг на взаємно перпендикулярних гранях залишається сталою.

Порівнюючи формули /3.11/ і /3.13/, помічаємо, що А _б = -А_, тобто підтверджується закон парності дотичних напруг, а знак "мінус" відповідає правилу, наведеному в підрозд.3.2.

Найбільші дотичні напруги, як виходить з аналізу формули /3.11/, маємо на площадках при sin 2б = 1 ,тобто тоді, коли 2б= 90° або б = 45°.

Значить, коли б = 45°, то

Необхідно зауважити, що згідно з прийнятим позначенням напруг, при плоскому напруженому стані головні напруги у₁ або у₂ зокрема можуть дорівнювати нулю. Тоді під час використання формул для аналізу напруженого стану необхідно замість у₁ підставляти у_{max ,} а замість у₂ - у_min.

Розглянемо тепер об'ємний напружений стан, яки має місце, коли на гранях виділеного елемента всі три головні напруги відмінні від нуля /рис3.13.а/. Проведемо довільний переріз елемента так, щоб площина перерізу перетнула всі три координатні осі /рис.3.13.б/.

Рис.3.13. Об'ємний напружений стан в точці: а – головні напруги у₁, у₂, у_{3 ;} б - визначення у_n та А_n точці площини перерізу з нормаллю n.

Нормаль n до цієї площини утворює з координатними осями х, у, z відповідно кути б₁, б₂, б₃ .Нормальна напруга у_n на та­кій площині визначається формулою, отриманою в теорії пружності і ана­логічною формулі /3.9/:

/3.15/

Дотичні напруги на цій площині обчислюють за формулою

Екстремальні значення нормальних напруг :

Максимальні значення дотичних напруг /3.17/

Особливе значення в розрахунках на міцність відіграють нормальні і дотичні напруги на площадці, яка має однаковий нахил до всіх ко­ординатних осей, тобто у випадку, коли б₁ = б₂ = б_{3 =} б .

Рис. 3.14. Октаедричні напруги А_окт і у_окт при об’ємному напруженому стані.

Така площадка називається октаедричною, а напруги на ній - октаедричними напругами, що познача­ються А_окт і у_окт.

Відомо, що в орто­гональній системі коор­динат cos²б₁+cos²б₂ + cos²б₃ = 1, Тоді для октаедричної площадки cos²б₁ = cos²б₂ = cos²б₃ = 1/3, і формула октаедричної нормальної напруги, згід­но з /3.15/ має вигляд

Якщо використати формулу /3.16/, то октаедрична дотична напруга

У теорії пружності і пластичності користуються узагальнюючою ха­рактеристико напруг, яку називають інтенсивністю напруг і познача­ють уі. Інтенсивність напруг уі , виражена через головні напруги, лише числовим коефіцієнтом відрізняється від А_окт :

/3.20/

З інтенсивністю напруг уі пов'язують момент початку текучості ма­теріалів, які працюють в умовах об'ємного напруженого стану.

Під дією зовнішніх сил матеріал може перебувати в різних меха­нічних станах. Так, при незначних навантаженнях виникають пружні де­формації, і матеріал перебуває в дружному стані. Наростаючі наванта­ження приводять до появи пластичних деформацій. В такому випадку го­ворять, що матеріал переходить у пластичний стан. За великих наван­тажень утворюються перші тріщини, і матеріал переходить у стан руй­нування.

Всі ці механічні стани матеріалу ми вже спостерігали в процесі побудови діаграми розтягу маловуглецевої сталі. В опорі матеріалів момент появи пластичних деформацій /або ознака крихкого руйнування/ хоча б в одній точці матеріалу конструкції розглядається як пору­шення міцності в цілому.

Розрахунки на міцність, що ґрунтуються на тако­му уявленні, називаються розрахунками за допустимими напругами.

Знаходження допустимий напруг у випадку лінійного напруженого ста­ну /при розтягу або стиску/ не викликає труднощів. При плоскому /або об'ємному/ напруженому стані знаходження небезпечних напруг становить надзвичайно складну задачу. Справа в тому, що небезпечний напружений стан у точці залежить від співвідношення між головним напругами, а таких співвідношень по суті безліч. Крім цього, великі труднощі ут­ворює і сама можливість реалізації і дослідження в лабораторних умовах величезної кількості різноманітних складних напружених станів.

В зв'язку з цим виникла необхідність, на основі дослідів при розтягу і стиску, теоретично визначити міцність матеріалів при довільних плоских і об'ємних напружених станах. В такому разі результати дослідів при лінійному напруженому стані стають еталоном міцності. В результа­ті за допомогою такого еталона - так званої еквівалентної напруги/ її позначають у_{екв /} - обґрунтовується міцність матеріалів при довільних напружених станах.

Зрозуміло, що еквівалентною напругою мав бути така сукупна ха­рактеристика напруги /стан В на рис.8.16,б/, яку необхідно створи­ти в розтягнутому елементі, щоб його стан був би однаково небезпечним з досліджуваним плоским чи об'ємним напруженим станом /стан А на рис.3.16,а/.

Рис.3.16. Об'ємний напружений стан /а/ і еквівалентний йому лінійний напружений стан /б/ з напругою у_екв.

Для обґрунтування еквівалентної напруги вводять різні гіпотези про переважаючий вплив того чи іншого фактора на міцність матеріалів при довільному напруженому стані.

Теорії, які обґрунтовують ознаки однакової безпеки руйнування матеріалів при різних напружених станах, називаються теоріями міцності. Математично довільну теорію міцності можна охарактеризувати залежністю

де у⁰ - небезпечна нормальна напруга, отримана експериментально під час побудови діаграми розтягу /стиску/. За таку небезпечну напру­гу взято для пластичних матеріалів границю текучості у^{0 =} у_т , а для крихких - границю міцності у^{0 =} у_м.

З великої кількості запропонованих на даний час теорій розгляне­мо ті, які найбільш обґрунтовані експериментально і набули широкого застосування.

1. Теорія найбільших дотичних напруг /третя теорія міцності/. Згідно з цією теорією вважають, що пластична деформація виникає внас­лідок необоротних зсувів у матеріалі, які спричинюються дотичними напругами.

За об'ємного напруженого стану найбільші дотичні напруги визна­чаються згідно з /3.17/: . Отже, якщо величина А_max досягла деякого небезпечного значення А⁰ , властивого даному матеріалу і визначеного при простому розтягу, то незалежно від виду напруженого стану матеріал переходить до пластичного стану. Тоді умова небезпечного стану має вигляд А_max = А⁰ , а умова міцності записується співвідношенням

/3.22/

На підставі /З.І7/, а також тому, що А⁰ при лінійному напру­женому стані можна виразити через у_т /див./3.8/, умову міцності можна записати через головні напруги:

/3.23/

Із формули /3.23/ виходить, що еквівалентна напруга за третьою теорією міцності

/3.24/

В еквівалентній напрузі /3.24/ не врахована середня за значенням головна напруга - у₂ - це і є основним недоліком третьої теорії міц­ності. Перевага ж цієї теорії полягає в тому, що вона добре під­тверджується різними дослідами при плоскому і об'ємному напружених станах над матеріалами, що однаково працюють на розтяг і стиск. Експериментально установлено, що похибка в оцінюванні міцності через знех­тування впливом у₂ не перевищує 15 %.

2. Теорія питомої потенціальної енергії зміни форми тіла /четверта теорія міцності/. Згідно з цією теорією вважають, що граничний стан для матеріалу, незалежно від виду напруженого стану, настає тоді, коли питома енергія зміни форми U_ф, в одиниці об'єму матеріала до­сягає свого небезпечного значення/ U_ф° , обчисленого за простого розтягу/. Умову міцності у цьому разі можна записати так:

/3.25/

Якщо величини, що входять до нерівності/3.25/, виразити через головні напруги, то отримаємо

/3.26/

Ліва частина нерівності /3.26/ відома нам з формули /3.20/, відома нам з формули /3.20/, вона виражає інтенсивність напруги уі. Тоді еквівалентна на­пруга за четвертою теорією міцності має вигляд

/3.27/

Отже, четверта теорія міцності враховує всі три головні напруги, що,безперечно, з її перевагою. Зазначена теорія добре підтверджується дослідами над пластичними матеріалами.

3. Теорія міцності Мора. Ця теорія дозволяв встановити критерій міцності для крихких матеріалів, які по-різному чинять опір розтягу і стиску, вона ґрунтується на систематизації великої кількості експе­риментальних даних, яка показує, що середня головна напруга у₂ несуттєво впливає на оцінку міцності матеріалів. На цій підставі Мор запропонував такий критерій міцності:

/3.28/

де [у_р] і [у_с] - допустимі напруги відповідно при розтягу і стиску.